그림 3. 요하네스 케플러의 Somnium 표지.

후크와 동시대에 살았던 아이작 뉴턴은 대표적인 저작 <자연철학의 수학적 원리> 즉 ‘프린키피아’에서 ‘물질의 양(Quantitas Materiae)’을 정의하고 있다. 그러나 이 개념은 무게나 중량과 다르다. ‘물질의 양’이란 개념을 자연철학에서 처음 정교하게 논의한 사람은 요하네스 케플러(1571‒1630)였다. 케플러는 1611년에 주위 사람들에게 읽힌 <꿈(Somnium)>이란 제목의 글에서 대포알을 타고 달에 간 사람의 이야기를 풀어놓았다[그림 3]. 이것이 책으로 간행된 것은 케플러가 세상을 떠난 뒤인 1634년이었다. 칼 세이건은 이 책을 최초의 과학소설(SF)이라 부르기도 했다. 바로 이 책에 물질들이 서로 끌어당긴다는 관념이 상세하게 제시되어 있고, 그 끌어당기는 정도가 물질의 양(quantitas materiae)에 비례한다는 주장이 들어 있다. 요즘 용어로 말하면 ‘중력질량(gravitational mass)’의 개념을 처음 제시한 것이었다. 이보다 앞서 1609년에 출간된 <새로운 천문학 또는 천상의 물리학(Astronomia Nova seu physica coelestis)>에도 이와 관련된 생각이 표현되어 있긴 하지만, 중력질량의 개념을 상세하게 풀어 놓은 곳은 <꿈>이었다. 케플러는 1600년에 윌리엄 길버트가 낸 <자석론(De Magnete, Magneticisque Corporibus, et de Magno Magnete Tellure)>의 영향을 강하게 받았는데, 길버트의 저서를 만나기 전부터 자석과 자성에 깊은 관심을 가지고 있었다.

흔히 코페르니쿠스가 세상의 중심을 지구가 아니라 태양으로 삼으면서 천문학상의 혁명이 일어났다고 말한다. 그러나 코페르니쿠스도 그 이후의 튀코 브라헤도 고대 그리스 자연철학 특히 프톨레마이오스로부터 계승된 신성한 천구를 전혀 부정하지 않았다는 점에서 진정한 의미의 혁명이 아니었다. 케플러는 행성의 운동궤적이 타원임을 밝히고 난 뒤 가장 심각한 상황을 만났다. 다름 아니라 고대로부터 내려온 신성한 천구를 근본적으로 폐기해야 했던 것이다. 그때까지 달의 천구 위의 운동은 설명할 필요성이 없는 자연스러운 운동이었지만, 행성의 운동궤적이 타원임을 주장하기 위해서는 행성과 태양 사이에 작용하는 힘이 무엇인지 새롭게 밝혀야 했다. 케플러는 바로 자석에 주목했다. 케플러는 행성과 태양 사이에 작용하는 힘이 자석에서 비롯하는 힘과 같거나 비슷하다고 보았다. 자석을 여러 개 모으면 자기력이 세지는 것처럼 행성과 태양 사이에 작용하는 힘도 물질의 양이 많아질수록 더 세진다고 믿었다.

케플러의 논의에서 물질의 양은 밀도(덴시타테 densitate)와 부피(몰레스 moles)가 함께 만드는 것으로 이야기된다. 뉴턴은 케플러의 아이디어를 그대로 수용했다. 1687년에 출간된 <자연철학의 수학적 원리>의 서술체계는 에우클레이데스의 <기하원본>과 유사하게 정의를 먼저 제시하고 공리를 열거한 뒤 이로부터 여러 정리와 명제를 제시하고 이를 증명하는 방식으로 서술되었다. 앞부분에 있는 여덟 개의 정의 중 맨 앞에 나오는 정의가 바로 ‘물질의 양’에 대한 것이다[그림 4]. 정의 1과 정의 2를 비교해서 보면 ‘물질의 양’과 ‘운동의 양’이 정확히 대구를 이룬다는 것을 알 수 있다.

그림 5. 에기디우스 <예수 성체에 대한 정리들 Theoremata de corpore Christi>(1276) 표지.

필로포누스의 아이디어를 더 발전시킨 것은 11세기 페르시아의 자연철학자 이븐 시나(Ibn Sina, Avicenna, 980‒1037)였다. 이븐 시나는 던져진 물체의 운동은 힘을 가하는 사람과 접촉하지 않기 때문에 그가 ‘마일 mayl’이라 부른 것이 최초의 충격에서 물체에 전해져야 한다는 논의를 전개했다. 이 ‘마일’이 점점 줄어들면 던져진 물체는 운동을 멈추고 떨어지게 된다는 것이다. 이븐 시나의 논의를 수용하여 발전시킨 것은 12세기의 이슬람 자연철학자 아불 바라카트(Abu’l-Barakāt Hibat Allah ibn Malkā al-Baghdādī, c.1080‒1164/5)와 알 비트루지였다.

에기디우스 로마누스(Aegidius Romanus, Giles of Rome, c.1243‒1316)는 신플라톤주의자로서 아리스토텔레스주의에 크게 반대했다. 중세 유럽의 자연철학을 염두에 두면, 에기디우스가 관심을 가진 것은 바로 ‘물질의 양’이 어떤 상황에서도 그 총량이 변하지 않는다는 점이었다. 에기디우스는 기독교 신학자로서 매주 교회에서 일어나는 성체성사에 대해 큰 관심을 가지고 있었고, <예수 성체에 대한 정리들 Theoremata de corpore Christi> (1276)이라는 책을 냈다[그림 5]. 기독교의 성체성사에서는 빵을 먹으면서 이것이 우리를 위해 죽은 예수의 살이라고 하고 포도주를 마시면서 이것이 우리를 위해 죽은 예수의 피라고 말한다. 최후의 만찬을 기리는 것이다. 그런데 사제가 이 빵과 포도주에 축사를 하면 빵과 포도주가 입으로 넘어가는 순간 이미 성자(예수 그리스도)의 살과 피로 바뀐다. 빵과 포도주를 무게와 부피로만 보면 이 과정은 도무지 납득이 가지 않는다. 이 과정을 이해하기 위해 에기디우스는 ‘물질의 양’이라 부르는 세 번째 양이 변하지 않는다는 새로운 생각을 펼쳤다.

이 생각은 14세기 프랑스 파리 대학의 자연철학자 장 뷔리당(Jean Buridan, c.1301‒c.1359/62)으로 이어진다. 뷔리당은 ‘뷔리당의 당나귀’라는 우화로 널리 알려져 있다. 뷔리당은 운동을 유지하는 원천으로 필로포누스의 ‘호르메’의 개념을 확장했는데, 이를 ‘임페투스’라 불렀다. 임페투스는 운동하는 물체가 빠를수록 더 큰 것으로 여겨졌는데, 뷔리당은 여기에 추가하여 ‘물질의 양’이 많을수록 임페투스도 크다고 보았다. 이때 ‘물질의 양’은 다름 아니라 에기디우스가 제안한 그 신학적 개념이었다. 활을 떠난 화살이 운동할 수 있는 것은 손에서 전달된 임페투스가 화살에 남아 있기 때문이라고 본 것인데, 공기저항 같은 게 없다면 그 임페투스 때문에 화살이 그대로 반듯하게 일정한 빠르기로 날아갈 수 있을 것이다. 공기저항 같은 것 때문에 화살에 전달된 임페투스는 주변에 흩어져 버린다. 임페투스가 다 떨어지면 화살은 바닥으로 떨어져 버린다는 것이다.

뉴턴이 새로 정의한 ‘물질의 내재적 힘 vis insita’은 14세기의 임페투스와 완전히 같은 건 아니지만 여러 면에서 그와 유사하다. 또 이 물질의 내재적 힘은 임페투스처럼 물질의 양에 비례한다. 바로 그 점 때문에 ‘물질의 양’ 즉 ‘질량’은 일종의 ‘관성’으로 작동한다는 생각이 널리 퍼졌다. 20세기 중엽까지도 ‘질량’과 ‘관성’은 사실상 동의어처럼 사용되었다.

그림 8. 에른스트 마흐의 <역학의 발달 Die Mechanik in ihrer Entwickelung: historisch-kritisch dargestellt>(1897) 표지.

대개 수식을 \(m_{_I} g = \frac{GM_{E} m_{G}}{R_{E}^{\phantom{} 2}}\) (\(M _{E}\)와 \(R_{E}\)는 각각 지구의 질량과 반지름)와 같이 써 놓고 관성질량 \(m_{_I}\)와 중력질량 \(m_{_G}\)가 같기 때문에 지표면에서의 중력가속도는 \(g= \frac{GM_{E}}{R_{E}^{\phantom{} 2}}\)으로 주어진다고 말하는 것을 쉽게 볼 수 있다. 지구에서의 무게와 달에서의 무게를 비교하는 1/6이란 숫자도 여기에서 유도된다. 달의 질량이 지구의 질량의 1/100쯤이고 반지름은 1/4쯤이므로, 이 값을 넣으면 중력가속도가 1/6쯤임을 얻을 수 있다. 그러나 이런 서술은 지구가 타원체라는 것, 지구와 달의 크기와 질량을 결정하는 것이 매우 복잡하고 어렵다는 점, 그리고 뉴턴 상수를 확정하는 것이 쉽지 않음을 간과한 단순화이다. 특히 개념만으로 보면 애초에 상태 변화에 대해 버티는 내재적 힘(관성)과 중력이라는 힘을 만들어낸다는 물질의 양은 서로 무관하다고 보아야 하기 때문에 관성질량과 중력질량이 같다고 말하는 것에 어폐가 있다. 이 문제를 이해하기 위해서는 일반상대성이론까지 거론하지 않을 수 없을 것이다. 무게를 관성질량과 중력가속도의 곱으로 볼 것인지, 아니면 중력질량과 중력가속도의 곱으로 볼 것인지도 선택의 여지가 있다.

그런 면에서 현대의 물리학 교과서에 “질량과 가속도의 곱이 힘과 같다.”라는 주장이 고전역학에서 가장 중요한 것으로 여겨지는 상황은 바람직하지 않은 면이 있다. 영국의 자연철학자 버클리는 뉴턴 자연철학에서 ‘힘’이라는 관념이 일상적 경험이나 감각으로 확인할 수 없는 가상적이고 사변적인 개념이라고 비판하면서, ‘힘’이라는 개념을 전혀 도입하지 않고 운동을 설명하려 애를 썼다. 이와 달리 18세기 크로아티아(달마시아) 지역 출신의 자연철학자 루제르 보스코비치(Roger Joseph Boscovich[Ruđer Josip Bošković], 1711‒1787)는 1758년에 초판이 간행된 <자연에 존재하는 단일한 힘들의 법칙만으로 유도한 자연철학의 이론(Philosophiæ naturalis theoria redacta ad unicam legem virium in natura existentium)>에서 힘들 사이의 관계만으로 운동을 설명하려 했다. 독일의 철학자 이마누엘 칸트도 이를 계승하여 이와 관련된 논의를 전개했다.

에른스트 마흐가 1897년에 간행된 <역학의 발달 Die Mechanik in ihrer Entwickelung: historisch-kritisch dargestellt>에서 질량을 새롭게 정의한 것은 이러한 흐름의 연장선에 있다[그림 8]. 마흐는 정의가 모호하며 오랜 논쟁에 휘말렸던 ‘힘’이라는 개념을 사용하지 않고 역학의 체계를 세우려 했다. 그래서 작용-반작용의 법칙을 출발점으로 삼아 질량 개념으로 나아갔다. 그는 작용-반작용 관계에 있는 두 물체의 질량의 비 \(m_{AB} = m_{A} / m_{B}\)를 가속도의 비로 \(m_A / m_B = -a _{B} /a _{A} \)로 정의하고 특정의 물체를 질량의 기준으로 삼을 것을 제안했다. 그러나 이 과정에서 가속도가 직접 측정할 수 있는 양이 아니며 시간과 공간의 표준을 정하는 문제가 선행되어야 한다는 점을 고려하지 않았다. 또 이렇게 가속도의 비로 질량을 정의하는 것은 특수상대성이론과 일반상대성이론으로 가면 제대로 작동하지 않는다. 그러나 대부분의 물리학 교과서에서는 마흐의 논의를 단순화하여 질량 개념을 정의하고 있다. 특수상대성이론에서 질량 개념이 에너지 및 운동량과 직접 연결되어 좌표계의 선택과 무관하게 의미를 갖기 위해서는 \(m= \sqrt {E ^{2} /c ^{4} -p ^{2} /c ^{2}}\)와 같이 에너지의 제곱과 운동량의 제곱의 차로 정의해야 한다. 일반상대성이론에서는 중력장이 에너지를 갖기 때문에 질량을 모호함 없이 정의하기가 매우 어렵다.

질량 개념의 역사에 대해 다음 참고문헌들이 유용하다.