다체한곳모임의 조건
Viewpoint: Constraining Many-Body Localization

통계물리학의 기본 교리는 거시적인 계는 결국 모든 허용되는 미시적 상태를 방문한다는 에르고딕(ergodic) 가설이다. 영구기관의 불가능성과 시간의 화살은 이 가설이 도달하는 놀라운 결론의 예이다. 그러나 모든 물리적 시스템이 에르고딕한 것은 아니다. 미시적 불균일성을 지닌 계는 거시적 특성이 전혀 다른 특정한 상태에 갇힐 수 있다. 고전계와 양자계 모두에서 이러한 비-에르고딕계에 대한 이론적 설명은 아직 불완전하다. 단순한 모형으로 다양한 비-에르고딕성을 보이는 상태를 구현하기도 하지만 모형이 실제의 계를 이해하는 데 얼마나 도움이 되는지는 불분명하다. 2년 전, 지금은 시카고의 Global Quantitative Strategies에 있는 Alan Morningstar와 연구팀은 불균일 양자계에서 중요한 몇 개의 영역을 확인하고 이론 예측과 수치 계산 결과가 잘 들어맞지 않았던 부분을 개선했다.1) 그들의 연구는 이후의 비-에르고딕성에 대한 여러 연구의 출발점이 되었고 양자와 고전의 유리(glass)계를 연결하려는 시도를 부활시켰다.

1958년에 물리학자 필립 앤더슨은 충분히 무질서한 포텐셜 환경에서는 전자와 같은 단일 양자 입자가 초기 위치 근처의 작은 영역 내에 공간적으로 국소화(localization)됨을 보였다.2) 그런데, 만약 입자가 여러 개라면? 아마도 그들은 서로 부딪혀서 국소화를 피할 수 있는 새로운 경로를 생성할 것이다. 그러나, 이러한 새로운 경로에도 불구하고 시스템이 공간적으로 국소화된 상태로 유지되면 MBL(many-body localization, 다체한곳모임)이 나타난다고 한다. MBL계는 비-에르고딕 물질 상태이고 유한한 온도에서 완벽한 절연체이다.

지난 70년 동안 점점 더 많은 이론 연구를 통해 일차원 시스템에서 MBL이 안정적이고 열화에 저항한다는 사실이 밝혀졌다. 더 높은 차원에서는 약한 불균일함을 가진 넓은 영역이 드물게 발생하여 MBL을 불안정하게 한다. 이러한 영역은 비열이 낮고 흡수할 수 있는 열에너지의 균일도가 낮아서 별로 좋지 않은 열 저장소이다. 하지만 경계면에서 국소화된 자유도를 파괴하고 흡수함으로써 더 넓은 열 저장소가 될 수 있다. 오직 일차원에서만 이러한 양자 “사태”가 멈추어 안정적인 MBL이 가능하다.

MBL과 무질서 양자계의 넓은 동적 상태도를 실험 및 수치계산의 관측을 통해 확인하려는 시도에는 논란이 있다. 양자 시뮬레이터는 입자를 무질서한 포텐셜에 넣고 무슨 일이 일어나는지 보는 이상적인 동적 실험을 모방할 수 있지만 이는 상대적으로 짧은 시간으로 제한된다. 이러한 실험은 모든 차원에서 MBL과 유사한 영역을 관측한다. 한편, 수치적 정확해를 찾는 연구는 소수의 입자(20개 격자와 약 10개의 입자)로 제한된다. 결과는 강한 불균일성 영역의 MBL 단계와 약한 불균일성 영역의 에르고딕 상태로 이루어진 단순한 이론적 그림과 일치하지 않는다. 그리고, MBL에 대한 반대 의견도 존재한다. 2020년 슬로베니아 Jožef Stefan Institute의 Jan Šuntajs와 연구팀은 MBL 상태가 아예 존재하지 않는다고 하면서, 충분히 큰 계에서는 입자가 항상 공간적으로 국소화되지 않는다고 주장했다.3)

Morningstar와 연구팀은 이러한 관측 결과가 어떻게 이론에 부합할 수 있는지 설명했다. 그들은 상태도가 에르고딕, MBL, 그리고 특히 “MBL”이 끼어든 상태(작은 시스템은 비-에르고딕이지만 충분히 큰 시스템은 에르고딕)의 세 가지 상태가 있음을 강조했다. 수치 계산으로써 에르고딕 상태와 MBL 사이의 교차 (crossover) 영역을 조사했는데, 이 영역에서 수치 계산으로 다룰 수 있는 계는 양자 사태의 씨앗이 될 열저장소를 갖기에는 너무 작다. 대신, 교차는 완전히 별개의 물리학, 즉 다체공명(many-body resonances)의 증가에 의해 결정된다.4)5) 말하자면, 다체공명에서는 여러 입자가 다수의 격자로 퍼뜨려진 두 상태 사이에서 진동하고, 이러한 공명은 입자의 비국소화를 일으킬 수 있다. 국소화된 입자 구성에서 공명이 형성될 확률은 MBL-에르고딕 상태 사이의 교차 영역에서 급격히 변한다.

수치 계산으로 다룰 수 있는 계가 너무 작아서 열 저장소가 나타나기 어렵다면 실제 MBL 상태로의 교차를 어떻게 조사할 수 있나? 뉴욕 대학의 Dries Sels6)와 함께 Morningstar가 고안한 기술 혁신의 핵심은 양자 사태에 대한 기준을 다시 만드는 것이다. 만약 완벽한 열 저장소에 연결될 때 국소화된 부분이 열평형에 이르는 시간이 너무 길다면, MBL에서 고려하는 별로 좋지 않은 열 저장소는 양자 열평형 사태를 유발할 수 없다. 중요한 것은 이 완벽한 열 저장소의 평형 도달 시간은 수치적으로 측정 가능하며 MBL 상태에 필요한 불균일 포텐셜 세기의 하한선을 제공한다는 것이다. Morningstar와 Sels는 MBL 상태를 유지하기 위해서는 이전에 예상했던 것보다 훨씬 더 큰 불균일 포텐셜 세기가 필요하다는 사실을 발견했다. 이는 이전 수치 연구 모형에서 MBL 상태가 예상된 세기의 최소 7배이다.

관련된 시간 척도가 불균일성 세기에 기하급수적으로 민감해지므로 연구진의 결과는 MBL 상태에 물리적으로 도달이 어려움을 시사한다. 이를테면, MBL을 조사하는 극저온 원자 기체 실험7)에서 MBL 상태의 동역학은 약 1018초 후에야 뚜렷해질 것이다. 이는 우주 나이의 두 배보다 크다.

Morningstar와 연구팀 그리고 다른 이들의 연구는 무질서한 계의 동적 상태도에 대한 몇 가지 의문을 해결했다. 앞으로는 물리적으로 접근이 가능한 MBL 상태를 특징하는 것이 중요하다. 한 가지 질문은 동적 특성에 관한 것이다. 최근의 연구에서 큰 계에서 다양한 미시적 구성이 국소적 열평형에 도달하는 시간 척도에는 계층 구조가 발생함이 예측되었다. 이러한 속성은 고전 유리계를 연상시키므로, 이러한 유리계와 MBL 사이의 정확한 연관성을 탐구하는 것은 흥미로운 일일 것이다.

또 다른 응용은 최적화 문제이다. 이러한 최적화 문제는 많은 입자로 구성된 무질서한 시스템에서 바닥 상태를 찾는 문제로 바꾸어 생각해 볼 수 있다. 그러한 바닥 상태를 탐색하는 경험적 양자 알고리즘은 중간에 MBL 영역을 거칠 수 있다. MBL 영역에서 계는 다체공명 구조로 연결된 상태 사이를 터널링한다. 이러한 공명 구조가 양자 알고리즘을 기존 알고리즘보다 더 빠르게 만드는지는 아직 밝혀지지 않았다.

양자 시뮬레이터를 위한 일반적 상태 방정식
Synopsis: A General Equation of State for a Quantum Simulator

특정 양자계를 다루기 어려운 경우에 고려할 수 있는 한 가지 방법은 물리적으로 비슷하지만 다루기는 더 쉬운 다른 계를 연구하는 것이다. 예를 들어, 실험적으로나 이론적으로나 매우 어려운 문제인 강상관계에서 전자의 거동을 이해하기 위해 연구자들은 같은 양자 통계 규칙을 따르지만, 제어할 수 있는 극저온 원자 격자를 고려할 수 있다. 최근 뮌헨 Ludwig Maximilian University의 Giulio Pasqualetti와 연구팀은 격자 위의 극저온 원자의 거동을 강상관계 전자의 언어로 이해하는 데 사용하는 모형의 일반형에 대한 상태 방정식을 만들었다.8) 그들의 결과는 이 모형에 대한 최첨단 수치 계산의 신뢰성을 확인해 줌으로써 새로운 응집 물질 현상 연구에 대한 모형 접근을 더욱더 매력적으로 만든다.

이 모형은 바로 격자 위의 페르미온 원자들 사이의 상호작용을 반영하는 Fermi-Hubbard 모형이다. 두 가지 가능한 상태로 준비된 원자는 전자 수송과 같은 전자의 두 스핀 방향과 관련된 문제를 탐구하는 데 이용되는 한편, 더 많은 상태를 가진 원자는 새로운 유형의 자기와 같은 더 복잡한 현상을 탐구하는 데 이용된다. 두 가지 상태를 가진 원자에 대한 two-state Fermi-Hubbard 모형의 상태 방정식은 이전에 수치 계산과 실험을 통해 구해졌으나, 수치 계산이 매우 어려운 다중-상태 모형에 대해서는 여전히 이해가 부족하다.

Pasqualetti와 연구팀은 6가지 상태가 가능한 이터븀-173 원자를 사용했다. 그들은 이러한 원자의 격자를 구현하여 다중 상태 Fermi-Hubbard 모델의 열역학적 특성을 측정하고 그 결과를 새로 나온 수치 계산의 예측과 비교했다. 또한 연구팀의 실험은 현재 수치적으로는 다루기 어려운 영역을 포함한 영역에 대해 Fermi-Hubbard 모형의 일반 상태 방정식을 도출하기 위한 데이터를 제공한다.