Fault-tolerant Quantum Computing with the Color Code

Seok-Hyung LEE

One of the most significant obstacles for implementing quantum computing is noise, corrupting quantum information stored in qubits. Quantum error-correcting codes can be utilized to overcome this by distributing quantum information into multiple qubits. The color code is one of the representative error-correcting codes, which allows relatively straightforward implementations of logical gates. In this article, I describe how to perform fault-tolerant quantum computing using the color code, including correcting errors via decoding and implementations of logical gates.

서 론

양자컴퓨팅은 중요한 차세대 기술 후보 중 하나로, 특정 작업을 기존의 컴퓨터보다 압도적으로 빠르게 수행하는 것이 가능하다고 예측된다. 이러한 양자컴퓨팅을 구현하기 위해서는 양자컴퓨팅 과정에서 발생하는 노이즈의 문제를 해결해야 한다. 양자 정보의 기본 구성 단위인 큐비트를 저장하고 연산하는 과정에서 언제든지 여러 종류의 오류들이 발생할 수 있고, 이들이 큐비트에 담긴 양자 정보를 훼손한다. 이를 극복하기 위해 양자 정보를 여러 큐비트에 나누어서 저장하는 양자오류정정 부호의 개념이 제안되었고, 표면(surface) 부호, 색(color) 부호 등의 각기 다른 장단점을 가진 부호들이 연구되어 왔다.

이 글에서는 여러 양자오류정정 부호 중 하나인 색 부호에 대해서 소개하고, 이를 이용한 결함허용 양자컴퓨팅이 어떻게 이루어지는지 다룬다. 특히, 디코딩(decoding)을 통한 오류정정이 어떻게 작동하는지, 기초적인 양자 연산들을 어떻게 수행하는지 살펴본다.

보편성과 결함허용성

양자컴퓨팅을 구현하기 위해서는 ‘보편성’과 ‘결함허용성’의 두 요소를 달성해야 한다. 보편성이란 큐비트들에 임의의 양자 연산을 충분히 높은 정확도로 수행할 수 있어야 한다는 것을 의미한다.1) 고전적인 컴퓨터에서 비트를 우리가 원하는 대로 자유자재로 조작할 수 있다는 사실과 대응된다. 다행히 유한한 개수의 특정한 논리 게이트들만 구현할 수 있어도 이들의 조합을 통해 보편성을 달성할 수 있다는 사실이 알려져 있다.

결함허용성이란 컴퓨팅 과정에서 발생하는 노이즈가 처리되는 양자 정보에 치명적인 손상을 주지 않도록 하는 것을 의미한다. 이를 위한 대표적인 방법으로 양자오류정정 부호를 이용할 수 있다. 이는 여러 개의 큐비트들을 결합해 하나 또는 적은 개수의 논리적 큐비트를 구현하는 방식이다. 여기서 개별적인 큐비트를 논리적 큐비트와 구별하기 위해 ‘물리적 큐비트’라고도 지칭한다. 예를 들어 3개의 물리적 큐비트를 하나의 논리적 큐비트로 결합하고, 0 상태 3개를 ‘논리적 0 상태’, 1 상태 3개를 ‘논리적 1 상태’로 정의할 수 있다. 그러면 3개의 물리적 큐비트들 중 한 개에 상태가 0에서 1로, 1에서 0으로 뒤집히는 오류가 발생하더라도 다수결을 통해 오류를 수정할 수 있게 된다. 하지만 이러한 ‘반복 부호’ 방식은 모든 종류의 양자 오류를 수정하기에는 불충분하기 때문에 실제로는 더 많은 큐비트들을 적절히 결합해야 한다. 단일 큐비트 오류를 수정할 수 있는 대표적인 부호로는 5-큐비트 부호, 7-큐비트 스틴(Steane) 부호, 9-큐비트 쇼어(Shor) 부호 등이 있다.1) 부호가 동시에 N개의 큐비트에 발생한 임의의 오류를 수정할 수 있는 경우 ‘부호 거리(code distance)’를 2N+1로 정의한다. 즉, 위 부호들의 부호 거리는 3이며, 부호 거리를 늘리기 위해서는 더 복잡한 구조의 부호가 필요하고 필요한 물리적 큐비트의 수도 많아지게 된다.

한편, 여러 시스템, 특히 초전도체 시스템 등 고체 기반 시스템의 경우 큐비트들이 공간상에 고정되어 있고 가까운 큐비트들 사이의 상호작용만 가능한 경우가 많다. 이러한 제약조건에서 작동하는 대표적인 오류정정 부호가 ‘표면 부호’2)와 ‘색 부호’3)다. 두 부호 모두 부호 거리가 조절 가능하다는 장점이 있다. 다시 말해, 큐비트를 더 투입함으로써 부호 거리를 늘릴 수 있고, 이 과정에서 국소적인 구조는 변하지 않아 여전히 가까운 큐비트들 사이의 상호작용만 존재한다.

한 가지 중요한 사실은, 오류율이 특정 임계값 이하여야만 부호 거리가 커질수록 논리적 오류율(오류정정 후에 여전히 치명적인 오류가 남아있을 확률)이 작아진다는 것이다.1) 부호 거리가 커지면 관여하는 큐비트가 많아지고, 따라서 오류의 종류도 많아지기 때문이다. 이러한 임계값을 양자오류정정 부호의 ‘오류 임계값’이라고 부르는데, 이 값이 클수록 더 훌륭한 오류정정 성능을 가진 부호라고 할 수 있다.

표면 부호와 색 부호를 비교하자면, 표면 부호는 약 1% 정도,4) 색 부호는 약 0.5% 정도5)의 오류 임계값을 갖는다. 다시 말해, 양자 연산과 큐비트 측정, 초기화와 같은 양자 회로의 구성요소들이 각각 1% 또는 0.5% 이내의 오류율을 가져야 비로소 많은 큐비트들을 사용해 부호를 구축하는 의미가 있다는 것이다. 더 높은 오류 임계값을 갖는 표면 부호가 상대적으로 더 활발하게 연구되고 있으며, 현재 기초적인 수준에서 실험 또한 진행되고 있다. 하지만 그렇다고 색 부호가 뒤떨어지는 부호인 것은 아니다. 표면 부호에 비해 색 부호가 갖는 가장 큰 장점은 보편성을 위해 필요한 논리 게이트들의 구현이 용이하다는 점이다. 특정 중요한 논리 게이트들을 간단한 게이트들의 조합만으로 구현할 수 있으며, 이는 표면 부호에서는 어려운 성질이다.

이 글에서는 색 부호를 예시로 들어서 결함허용 양자컴퓨팅이 이루어지는 전반적인 과정을 살펴보려고 한다.

색 부호의 정의와 오류정정

Fig. 1. Structure of the color code. (a) X-type check operator. (b) Z-type check opeartor. (c) Error flipping three check operators. (d) Pair of errors flipping two check operators. (e) Error string flipping two check operators at its ends.

색 부호를 정의하기 위해서는 특정한 격자 구조를 따라 물리적 큐비트들을 배치해야 한다. 이 격자 구조는 각 꼭짓점이 3개의 변과 연결되어 있으며, 면들이 인접한 면끼리는 다른 색을 갖도록 3가지 색으로 색칠될 수 있다는 특징을 가지고 있다. 그림 1과 같은 육각형 격자 구조가 한 예시이다. 색 부호의 큐비트들은 이러한 격자 구조의 꼭짓점마다 배치된다. 위와 같은 격자를 그림 2(a)처럼 삼각형이나 다른 특정 형태로 자르면 논리적 큐비트를 정의할 수 있다. 그림 2(a)의 경우 부호 거리가 7인 논리적 큐비트에 해당한다. 참고로 여기서 ‘색’은 물리적인 의미를 갖는 것이 아니라 각 면에 부여되는 라벨에 불과하다. 그림 1처럼 빨간색, 초록색, 파란색의 세 가지 색이 흔하게 사용된다.

Fig. 2. (a) Distance-7 triangular color code and (b) its schematic diagram.5)

양자오류정정 부호를 정의하기 위해서는 오류가 없는 경우 측정했을 때 항상 동일한 결과가 나오는 연산자인 ‘확인 연산자(check operator)’를 적절히 설정해야 한다. 하나의 부호에 대해 확인 연산자는 다수 존재하며, 이들을 측정하는 것을 ‘신드롬(syndrome) 측정’이라고 한다. 신드롬 측정은 반복적으로 이루어지며 그 결과를 조합해 오류를 감지하고 정정하게 된다.

색 부호의 경우 그림 1(a)처럼 격자의 각 면마다 확인 연산자가 존재한다. 이 연산자는 평소에는 측정했을 때 ＋1의 결과를 주지만, 특정한 오류가 물리적 큐비트들 중 하나에 발생하면 확인 연산자의 측정값이 뒤집혀서 ‒1의 결과를 주게 된다. 예를 들어 그림 1(c)처럼 큐비트 하나에 오류(E)가 발생하면 이 큐비트가 속해있는 세 면의 확인 연산자의 측정값이 뒤집힌다. 또한, 그림 1(d)처럼 두 인접한 큐비트에 오류가 발생하면 두 큐비트를 각각 하나씩 포함하고 있는 면의 확인 연산자의 측정값이 뒤집힌다. 일반적으로, 그림 1(e)처럼 연쇄적인 오류가 발생했을 때 양 끝의 확인 연산자가 뒤집히게 된다. 엄밀하게 말하면, 오류에는 X 오류와 Z 오류의 두 종류가 있고 이를 감지하는 확인 연산자도 그림 1(a)와 1(b)처럼 X-유형과 Z-유형, 두 유형이 각 면마다 존재하지만, 두 유형은 독립적으로 취급해도 무방하다.

Fig. 3. Concatenated minimum-weight perfect matching (MWPM) decoder for the color code: (a) First MWPM on a restricted lattice. (b) Second MWPM on a monochromatic lattice. (c) Residual errors after decoding.5)

위와 같은 특성을 바탕으로 색 부호에서 발생한 오류를 감지하고 정정할 수 있다. 먼저 신드롬 측정을 통해 얻어낸 결과들 중에 측정값이 뒤집힌 확인 연산자들을 특정한다. 이렇게 특정된 확인 연산자들을 바탕으로 오류를 유추하는 것을 ‘디코딩(decoding)’이라고 한다. 그림 1(d), (e)와 같이 오류가 항상 두 개의 확인 연산자를 뒤집는다고 가정하면, 뒤집힌 확인 연산자들은 항상 쌍으로 존재하게 된다. 즉, 여러 가능한 쌍들의 조합 중 가장 확률이 높은 것을 선택함으로써 디코딩을 수행할 수 있다. 이는 ‘최소 가중치 완전 짝짓기(minimum-weight perfect matching; MWPM)’이라고 하는 그래프 이론의 문제로 추상화할 수 있으며,6) 이에 대한 효율적인 알고리즘이 존재함이 알려져 있다. 하지만 실제로는 그림 1(c)와 같이 오류가 세 개의 확인 연산자를 뒤집는 경우가 존재하기 때문에 더욱 복잡한 알고리즘이 필요하다. 예를 들면 그림 3처럼 MWPM를 두 번 연쇄적으로 수행하는 방식의 디코딩이 가능하다.5)

참고로 표면 부호의 경우 단일 큐비트 오류가 항상 최대 두 개의 확인 연산자의 측정값을 뒤집기 때문에 한 번의 MWPM만으로 디코딩을 할 수 있다.6) 이는 표면 부호가 색 부호에 비해 더 높은 오류 허용률을 가지는 이유 중 하나이다.

색 부호를 통한 양자컴퓨팅

위에서 색 부호의 정의와 오류정정 방법에 대해 살펴보았다면, 이제 색 부호를 통해 어떻게 양자컴퓨팅을 하는지 기술하고자 한다. 양자컴퓨팅은 양자 회로를 통해 이루어지며, 양자 회로는 큐비트의 준비, 논리 연산, 큐비트의 측정으로 구성된다. 여기서 큐비트의 준비와 측정은 색 부호뿐만 아니라 대다수의 오류정정 부호에 대해 그리 어렵지 않다. 색 부호의 경우는 단순히 물리적 큐비트들을 적절히 준비하거나 측정하는 것으로 논리적 큐비트를 준비하거나 측정할 수 있다. 다만 논리적 큐비트를 준비한 다음에는 신드롬 측정을 적어도 한번 수행해야 색 부호로 부호화된다.

가장 큰 문제는 보통 논리 연산 부분에서 발생한다. 논리적 큐비트를 적절히 변환할 수 있으면서 동시에 결함 허용성을 유지해야 한다. 이를 수행하는 대표적인 두 가지 방법으로 ‘횡단하는(transversal) 연산’과 ‘격자 수술(lattice surgery)’이 있다.

Fig. 4. Examples of (a) a transversal logical gate and (b) lattice surgery.

횡단하는 연산이란 그림 4(a)처럼 논리적 큐비트에 대한 연산이 단순히 물리적 큐비트에 대한 개별적인 연산의 결합으로 표현될 수 있는 경우를 의미한다.3) 예를 들어 하다마드(Hadamard) 게이트는 매우 중요한 양자 논리 게이트 중 하나인데, 색 부호에서 논리적 하다마드 게이트는 단순히 물리적 하다마드 게이트를 물리적 큐비트들에 각각 작용시킴으로써 구현할 수 있다. 횡단하는 연산의 큰 장점은 내재적으로 결함 허용성을 가지고 있다는 것이다. 물리적 큐비트들 중 하나에 오류가 발생하더라도 연산 후에 다른 물리적 큐비트들로 오류가 전파되지 않고, 따라서 부호와 부호 거리가 그대로 유지된다. 다시 말해, 정정 가능했던 오류가 연산 후에 정정이 불가능해지지 않는다. 또한, 연산의 메커니즘이 매우 단순하며 소요 시간이 짧다. 색 부호의 경우 하다마드 게이트, 위상 게이트, CNOT 게이트 등 중요한 게이트들이 횡단하는 연산으로 구현 가능한 반면, 표면 부호는 CNOT 게이트만 횡단하는 연산으로 구현 가능하다.(다만 CNOT 게이트의 횡단하는 연산의 경우 비국소적인 상호작용이 필요하다.) 이것이 색 부호가 가지는 대표적인 장점 중 하나이다.

격자 수술이란 그림 4(b)처럼 논리적 큐비트들을 부호화하고 있는 격자들을 서로 결합했다가 분리함으로써 연산을 수행하는 방식이다.7)] 엄밀히 말하면, 이는 연산은 아니고 다중 큐비트 측정(여러 큐비트들을 파괴하지 않으면서 동시에 측정하는 것)에 해당하는데, 이를 적절히 조합함으로써 특정한 연산들을 수행하는 것이 가능하다. 횡단하는 연산에 비해 물리적 큐비트가 많이 필요하고 시간을 더 소모하지만, 횡단하는 연산으로 구현하기 어려운 연산을 수행할 수 있고 국소적인 상호작용만으로 가능하다는 장점이 있다. 또한, 색 부호의 격자 수술은 표면 부호의 그것보다 더 자원 효율적이다.8)

한편, 횡단하는 연산과 격자 수술 모두로도 구현이 어려운데 보편성을 위해서 꼭 필요한 연산들도 존재한다. 그러한 연산을 수행하는 것은 표면 부호와 색 부호 모두에서 어려운 문제이며 양자컴퓨팅을 실현하기 위해 필요한 가장 큰 과제 중 하나이다. 이러한 연산을 구현하기 위한 재료가 되는 자원 상태를 ‘마법 상태(magic state)’라고 부를 정도이다. 이 문제를 해결하는 대표적인 방법은 ‘마법 상태 증류(magic state distillation)’를 사용하는 것인데,9) 정밀도가 낮은 마법 상태 여러 개를 이용해 정밀도가 높은 마법 상태 하나를 증류하는 방식이다. 이 방식은 수천, 수만 개의 물리적 큐비트를 필요로 하고 수백 시간 단위(물리적 연산 하나에 소요되는 시간)가 소요되는 등 많은 비용이 들어가지만,10) 많은 연구를 통해 점점 최적화되고 있다.11)

색 부호의 실험적인 구현

색 부호를 비롯한 양자오류정정 부호의 실험적인 구현은 아직 걸음마 단계이다. 2022년12)과 2024년13)에 각각 포획 이온 시스템과 중성 원자 시스템에서 부호 거리가 3인 가장 작은 색 부호의 CNOT 게이트를 횡단하는 연산으로 구현하는데 성공하였다. 그러나 더 부호 거리가 큰 색 부호의 구현과 더 복잡한 논리 게이트들의 구현은 아직 이루어지지 않았는데, 이를 위해서는 동시에 수많은 큐비트들을 조작하면서 여러 요소들의 오류율도 오류 임계율 이하로 유지해야 한다.

맺음말

지금까지 색 부호를 통한 결함허용 양자컴퓨팅의 전반적인 과정을 살펴보았다. 색 부호는 국소적 상호작용만으로 이루어지고 횡단하는 연산과 격자 수술을 통한 효율적인 논리 게이트의 구현이 가능하다는 등의 장점들이 존재한다. 하지만 큰 색 부호는 많은 큐비트들과 그들 간의 상호작용이 필요하며, 특히 보편성을 달성하려면 마법 상태 증류와 같이 비용이 매우 큰 작업이 필수적이라는 사실 때문에 기술적인 구현에 어려움이 있다. 이러한 문제점은 비단 색 부호뿐만 아니라 일반적인 결함허용 양자컴퓨팅이 가지는 문제이기도 하다. 이를 극복하기 위해 이론적인 측면에서는 필요한 작업의 비용을 줄이고 결함허용성을 늘리려는 연구가, 기술적인 측면에서는 여러 큐비트들을 동시에 다루면서 큐비트를 저장하고, 처리하고, 다른 큐비트와 상호작용하는 작업의 정밀도를 높이려는 연구가 계속되어야 할 것이다.