Hybrid and Fusion Approach for Fault-tolerant Quantum Computing

Jaehak LEE and Wooyeong SONG

Quantum error correction is an essential tool for performing reliable quantum information processing tasks under noisy circumstances, and is attracting growing attention today as a crucial element for realizing the fault-tolerant quantum computer. In this article, we introduce two cutting-edge quantum error correction techniques for implementing fault-tolerant quantum computation: the hybrid approach and the fusion-based quantum computation. The hybrid quantum computing utilizes hybrid qubits which combine the advantages of continuous-variable and discrete-variable qubits. The fusion-based quantum error correction offers a way, specialized for photonic quantum information processing, toward fault tolerance based on two-qubit measurement, known as fusion. We demonstrate by numerical simulations that our methods achieve the increased loss threshold and the improved resource efficiency compared to previous photonic proposals.

서 론

오늘날 양자정보처리 분야는 초전도 회로, 광자, 이온 덫, 다이아몬드 질소-공동 센터 등 다양한 체계에서 큐비트를 구현하고 있으며, 제어 가능한 큐비트 숫자를 점차 늘려가며 이론적 수준에만 머물러 있던 양자컴퓨팅 구현에 점차 다가가고 있다. 최근에는 수십 개 이상의 물리적 큐비트를 성공적으로 구현하였으며 이를 통해 양자정보처리 기술의 활용 가능성을 검증하였다.1)2) 하지만 물리적 큐비트 단계에서는 오류가 발생하기 쉽고 불안정해, 양자정보처리 과정에서 연산이 진행될수록 오류가 누적되어 의미 있는 정보를 얻을 수 없게 된다.

이러한 오류를 처리하는 방식 중 대표적인 한 가지가 양자오류정정 부호를 활용하는 것이다. 이는 고전 정보처리에서와 마찬가지로 다수의 정보 단위에 더 적은 수의 정보를 담는 것으로 이를테면 한 자리의 물리적 단위를 대신해 000과 111과 같이 세 자리를 기본 논리 단위의 0과 1로 정의하는 것이다. 이 경우, 세 자리 중 둘 이상에서 물리적 오류가 발생해야 논리적 오류가 되므로, 한 자리의 정보만 사용하는 것에 비해 오류 발생률을 낮출 수 있고, 발생한 오류를 정정할 수도 있다. 앞선 예시는 가장 단순한 ‘반복 부호’이고, 단일 큐비트 오류를 수정할 수 있는 양자오류정정 부호로는 쇼어(Shor) 부호, 스틴(Steane) 부호 등이 있다. 실질적인 양자오류정정 부호 연구에서는 조금 더 복잡한 구조를 활용하여 적은 수의 물리 큐비트로 낮은 오류율의 논리 큐비트를 효율적으로 구축하는 것을 목표로 한다.

본 글에서는 광자 기반 체계에서 활용 가능한 양자오류정정에 관한 연구 두 가지를 소개하고자 한다. 한 가지는 양자정보처리의 기본 단위인 큐비트를 구현하는 두 가지 접근법인 연속변수 양자 시스템과 이산변수 양자 시스템 두 가지를 결합하여 서로의 장점을 취하는 하이브리드 양자 시스템을 활용하는 방법이다.3) 다른 한 가지는 광 기반 양자오류정정에 특화된 측정 기반 양자오류정정의 일종인 퓨전 기반 양자오류정정을 대폭 개선한 연구이다.4) 본 연구에서는 광자 큐비트의 특성을 잘 활용함으로써 기존의 광자 기반 방식들에 비해 효율적인 오류정정이 가능하도록 하여 광자 기반 양자컴퓨팅의 구현을 한층 앞당길 수 있을 것으로 기대한다.

하이브리드 방식 오류정정

보손(Boson) 모드에서는 다양한 자유도를 이용하여 다양한 방식으로 정보를 인코딩할 수 있다는 장점이 있다. 보손 모드의 무한 차원을 마치 통상적인 큐비트에서의 두 개의 양자화된 에너지 준위처럼 활용해 양자정보처리를 수행할 수 있다. 이를 연속변수(Continuous variable, CV) 양자정보처리라고도 칭하는데, 이것이 진폭, 위상 등의 연속변수인 물리량을 이용하기 때문이다. 이와 상반되게 큐비트와 같이 양자화된 에너지 준위를 활용하는 경우는 이산변수(Discrete variable, DV) 양자정보처리라고 하며, 둘은 각각 다른 측면에서 장단점이 존재한다.

특히 CV 양자정보처리에서는 오류정정이 가능한 보소닉 오류정정 부호를 활용하는 것이 가능하다. 대표적인 예시로 회전 대칭성을 이용하는 이항(binomial) 부호, 캣(cat) 부호, 병진 대칭성을 이용하는 GKP (Gottesman-Kitaev-Preskill) 부호 등이 잘 알려져 있다. 예를 들어, 4개의 결맞은 상태(coherent state)를 이용하는 4-성분 캣 부호는 짝수개의 광자수 상태 만으로 논리 큐비트를 구성하기 때문에, 광자 손실로 홀짝 성질이 변화하는 경우 광자 손실을 감지해 정정할 수 있다.5) 이처럼 보소닉 오류정정 부호는 그 설계 방식에 따라 특정 오류를 감지하여 정정할 수 있으며, 다수의 큐비트 대신 단일 모드만으로도 오류정정이 가능하기 때문에 효율적인 구조 설계에 적합하다. 이러한 장점을 바탕으로 Amazon, Xanadu, Nord Quantique, Alice&Bob 등 여러 양자컴퓨팅 기업에서도 이에 기반한 양자컴퓨팅 구조에 대해 주목하고 있다.

CV와 DV 방식은 각각 장단점이 존재하기 때문에 서로의 장점을 취할 수 있도록 CV-DV 하이브리드 방식을 이용하는 양자정보 프로토콜이 활발하게 연구되고 있다.6)7)8) 최근 Lee 등3)의 연구에서는 캣 부호를 도입한 하이브리드 큐비트를 이용한 양자오류정정 방식을 제안하고 그 성능을 분석하였다. 광자의 편광 상태 기반의 DV 큐비트와 캣 부호의 CV 큐비트로 구성된 하이브리드 큐비트를 구성하여 캣 부호가 가지는 광자 손실로 인한 오류정정 방식을 활용할 수 있도록 하였으며 편광 큐비트를 이용해 게이트 연산을 효율적으로 수행할 수 있도록 하였다. 또한, 선형 광학 연산을 통해 구현 가능한 하이브리드 큐비트 간의 퓨전 연산을 고안해 이를 토대로 확장 가능한 오류정정 양자컴퓨팅 구조를 설계하였다. 여기서 퓨전 연산이란 작은 크기의 양자얽힘 상태들을 결합하여 대규모의 양자얽힘 상태를 생성할 수 있는 연산으로, 측정 기반 양자컴퓨팅(Measurement-based quantum computing, MBQC)에 필수적인 기법이다. DV 큐비트 즉, 편광 상태에 가해지는 퓨전은 성공 확률이 50%로 제한된다는 한계점을 지니지만, CV 큐비트의 경우 평균 광자 수가 증가할수록 오류율이 지수적으로 감소한다. 하이브리드 큐비트에서의 퓨전 연산은 DV 큐비트와 CV 큐비트에 각각 퓨전을 수행, 측정 결과를 취합하는 방식으로 수행되어 DV와 CV 중 한쪽만 성공하여도 하이브리드 큐비트의 측정 결과를 성공적으로 결정할 수 있도록 하였으며, 따라서 연속변수 측정에서 발생하는 오류율을 절반으로 감소시킬 수 있다.8) 최근에는 Hastrup과 Anderson9)의 연구와 Su 등10)의 연구를 통해 최근 제안된 캣 부호 기반 CV 큐비트의 퓨전 기법을 활용하면 측정과 동시에 광자 손실로 인한 오류를 감지할 수 있다. 하이브리드 방식에서도 이러한 퓨전 기법을 도입하여 광자 손실로 인한 오류정정을 하이브리드 큐비트 단계에서 구현할 수 있도록 하였다.

Fig. 1. A schematic to build a RHG lattice by hybrid qubits. Each circle represents a hybrid qubit composed of a polarization qubit (red) and a cat-code qubit (blue). 3-qubit cluster states are merged using hybrid fusions to construct the RHG lattice. (b) Loss thresholds obtained by simulation. Points marked as stars represent the highest loss threshold. The inset represents the comparison of optimal thresholds including previous approaches with Steane code. (c) Comparison of the resource overheads of existing photonic quantum computing proposals to achieve the logical error rate p_L ＝ 10^‒6.

하이브리드 방식에서 낮은 오류율의 물리적 큐비트와 효율적인 퓨전 연산을 활용하여 오류정정 구조를 설계하여 시뮬레이션을 수행하여 성능을 평가해보았다. 오류정정 시뮬레이션에서는 표면(surface) 부호를 MBQC 방식으로 구현하는 RHG (Raussendorf-Harrington-Goyal) 격자 구조를 설계하였다[그림 1(a)]. 하이브리드 3-큐비트 얽힘 상태를 준비하고 하이브리드 퓨전 연산을 통해 결합하여 RHG 격자 구조의 클러스터 얽힘 상태를 생성하였다. 그림 1(b)는 해당 구조에서 발생하는 논리적 오류율을 시뮬레이션하여 광 손실 임계값을 계산한 결과를 보여준다. 본 연구의 결과(파란색 및 보라색)에서는 광자 손실률 0.89%의 결함허용을 달성하였으며, 이는 결맞은 상태를 이용한 기존 하이브리드 방식8)(주황색)에 비해 4배 이상의 향상된 값임을 확인할 수 있다. 또한 자원 효율성을 분석하기 위해 낮은 논리적 오류율 달성에 필요한 단위 얽힘 상태의 개수를 계산하여 기존 방식들과 비교해 보았다[그림 1(c)]. 그 결과 기존 광기반 방식들과 비교해 현저히 향상된 자원 효율성을 보였으며, 특히 기존 하이브리드 방식보다도 10분의 1 미만의 적은 자원량으로도 비슷한 수준의 오류율을 달성할 수 있음을 확인하였다.

하이브리드 방식에서 낮은 오류율의 물리적 큐비트와 효율적인 퓨전 연산을 활용하여 오류정정 구조를 설계하여 시뮬레이션을 수행하여 성능을 평가해보았다. 오류정정 시뮬레이션에서는 표면(surface) 부호를 MBQC 방식으로 구현하는 RHG (Raussendorf-Harrington-Goyal) 격자 구조를 설계하였다[그림 1(a)]. 하이브리드 3-큐비트 얽힘 상태를 준비하고 하이브리드 퓨전 연산을 통해 결합하여 RHG 격자 구조의 클러스터 얽힘 상태를 생성하였다. 그림 1(b)는 해당 구조에서 발생하는 논리적 오류율을 시뮬레이션하여 광 손실 임계값을 계산한 결과를 보여준다. 본 연구의 결과(파란색 및 보라색)에서는 광자 손실률 0.89%의 결함허용을 달성하였으며, 이는 결맞은 상태를 이용한 기존 하이브리드 방식8)(주황색)에 비해 4배 이상의 향상된 값임을 확인할 수 있다. 또한 자원 효율성을 분석하기 위해 낮은 논리적 오류율 달성에 필요한 단위 얽힘 상태의 개수를 계산하여 기존 방식들과 비교해 보았다[그림 1(c)]. 그 결과 기존 광기반 방식들과 비교해 현저히 향상된 자원 효율성을 보였으며, 특히 기존 하이브리드 방식보다도 10분의 1 미만의 적은 자원량으로도 비슷한 수준의 오류율을 달성할 수 있음을 확인하였다.

퓨전 기반 오류정정

최근 주목받는 양자오류정정 및 양자컴퓨팅의 구현 기법으로서 퓨전 기반 오류정정 또는 퓨전 기반 양자컴퓨팅(Fusion-based quantum computing, FBQC)13)이 있다. 이는 비교적 최근에 제안된 측정 기반 양자컴퓨팅의 일종으로, 광자 큐비트의 활용에 특화된 방식이다. 이는 초기에 대규모 양자얽힘 상태를 준비해야 하는 MBQC 방식과 달리, 광자 기반 소규모 양자얽힘 상태를 생성하는 장치들 다수와 양자얽힘 측정만을 요구하기 때문에 광 기반 양자컴퓨팅의 구현을 대폭 앞당길 수 있을 것으로 기대한다. 여기서는 퓨전 기반 양자컴퓨팅을 간단히 소개하고, 구현을 위해 필요한 과제들을 소개할 것이다.

Fig. 2. Schematic of the fusion network. Resource state generator (RSG) repeatedly emits resource states. Two photons from different resource states are sent to the fusion devices through optical fibers (or waveguides), and the fusion device performs fusion on these two photons to make the resource states containing these photons into a larger entangled state. The results of the fusions are sent to a classical processor as syndrome measurement results for error correction and as computation results, and the classical processor modifies the fusion bases of the fusion devices.

FBQC는 2023년 미국의 양자컴퓨팅 회사 PsiQuantum에 의해 제안된 양자컴퓨팅 구현 방식으로, 비행 큐비트(flying qubit)인 광자 큐비트의 특성을 적극 활용하는 구조를 가진다. FBQC의 작동 방식은 기본적으로 MBQC와 유사하다. 우선, 기존의 MBQC는 1) 먼저 대규모의 양자얽힘 상태를 준비하고, 2) 준비된 상태에 단일 큐비트 측정을 적응적(adaptive)으로 가해 논리 연산을 수행한다. 이에 반해, FBQC는 대규모 양자얽힘 상태를 구축하는 대신, ‘자원 상태 생성기(Resource state generator, RSG)’라 불리는 소규모 양자얽힘 상태를 생성하는 장치들을 준비한다. 이 장치는 자원 상태(resource state)라 불리는 소규모 양자얽힘 상태를 주기적으로 방출하며, 자원 상태를 구성하는 큐비트들은 광섬유 또는 광도파로를 통해 이동해, ‘퓨전 장치’로 전달된다. 퓨전 장치는 서로 다른 RSG에서 생성된 두 개의 큐비트를 받아 ‘퓨전’이라는 양자 연산을 수행한다. 퓨전 연산은 FBQC의 핵심이 되는 양자얽힘 측정 방식으로, 서로 다른 두 개의 RSG에서 방출된 자원 상태를 결합하여 더 큰 양자얽힘 상태로 만든다. FBQC는 수많은 자원 상태 생성기들과 퓨전 장치들 간에 광섬유를 통해 연결된 ‘퓨전 네트워크’로 불리는 광 네트워크로 구축함으로 자원 상태들 사이에 수행되는 퓨전을 통해 양자컴퓨팅에 필요한 대규모 양자얽힘을 생성할 수 있고, 이와 동시에 퓨전 연산의 결과값을 통해 연산 및 오류정정을 수행한다[그림 2]. 다시 말해, FBQC는 다수의 소규모 양자얽힘 상태로부터 시작해 양자컴퓨팅을 위한 대규모 양자얽힘의 생성과 논리 연산을 위한 측정을 퓨전을 통해 동시에 수행하는 방법이라 할 수 있다.

FBQC가 광 기반 플랫폼에서만 구현 가능한 것은 아니나, 비행 큐비트인 광자 큐비트는 그 구현에 유리한 몇 가지 특징을 지닌다. 먼저, 광자 큐비트는 광원으로부터 지속적 및 반복적으로 생성하기에 적합하고, 소규모의 양자얽힘 상태는 현재 기술로도 생성이 가능하다. 또한, 광자 큐비트를 전달하는 광섬유 또는 광도파로는 자원 상태 큐비트 간의 임의의 연결성을 요구하는 퓨전 네트워크를 구축하기에 용이하다. 게다가, MBQC는 연산이 수행되는 동안 대규모 얽힘 상태를 안정적으로 유지해야 한다는 요구사항을 지니고 있기 때문에 소실되기 쉬운 광자 큐비트를 활용하기 어려운 반면, FBQC에서는 큐비트가 생성되는 즉시 퓨전 네트워크상에서 퓨전 장치로 보내져 측정되기 때문에 광자 소실이 주요한 오류 요인인 광자 기반 양자컴퓨팅에서의 효과적인 구현 방식이 된다.

이러한 장점들을 기반으로 PsiQuantum사의 초기 연구는 광자 큐비트를 활용한 FBQC에서 표면 부호 기반의 양자오류정정 성능을 분석했고, 광자가 전파 및 연산, 측정 등의 과정에서 자원 상태의 형태에 따라 약 1% 미만에서 최대 2.7%의 손실률까지 결함허용성(fault-tolerance)을 가질 수 있음을 보였다. 이러한 성능은 광자 큐비트를 활용해 기존의 MBQC 방식에서의 광자 손실 및 오류에 대한 요구치와 유사하면서, 대규모 양자얽힘 상태를 만들 필요 없이 소규모 양자얽힘 상태를 생성하는 모듈만 다수 준비할 수 있다면 광자 기반 양자컴퓨팅의 구현이 가능함을 시사한다. 해당 연구 이후 기존의 표면 부호 대신, Sahay 등14)에 의해 XZZX 표면 부호 기반의 구조에 대해 FBQC를 적용하는 연구와 Paesani와 Brown15)에 의해 보다 생성이 용이한 선형 양자얽힘 상태를 활용해 플로켓 색(floquet color) 부호를 구축하는, 다양한 외부 부호(outer code)에 적용한 FBQC의 분석이 연구되었고 이러한 연구들은 광자 큐비트 손실 내성을 조금 더 개선할 수 있음을 보였다.

FBQC가 실험적으로 구현 가능한 영역으로 다가가기 위해서는 안정적이고 효율적인 광자 큐비트 생성 방식을 개발해야 하며, 더욱 주요한 과제로는 퓨전 측정 자체를 개선할 필요가 있다. 광자 큐비트에 가해지는 퓨전은 근본적으로 확률 과정이다. 예를 들어, 두 광자 큐비트 사이에 수행되는 퓨전 연산의 성공 확률은 50%로 제한되며 이러한 낮은 성공 확률은 대규모의 결함허용 양자컴퓨팅의 구축에 큰 걸림돌이 된다. 해당 이슈를 해결하기 위해 FBQC에 대한 초기의 연구들은 각 퓨전 연산마다 보조 큐비트(ancilla qubit)들을 추가해 성공 확률을 증폭시키는 방법을 해결책으로 제시했다. 보조 큐비트 쌍을 추가할수록 퓨전의 성공 확률을 50%에서 75%, 87.5% 등으로 점점 증폭시킬 수 있지만, 해당 방법은 사용되는 보조 큐비트가 단 하나라도 손실된다면, 퓨전에 실패한다는 치명적인 문제점을 가진다. 따라서, 사용되는 보조 큐비트의 개수를 증가시키면 퓨전의 성공률의 증가로 인해 결함허용을 달성할 수 있는 손실률 허용치가 처음에는 증가하나, 개수의 증가가 어느 기점을 지나면 보조 큐비트의 손실로 인한 영향이 더 주요해져, 도리어 손실률 허용치가 점점 낮아지는 역효과를 주게 된다.

이러한 보조 큐비트를 추가 자원으로 사용함에 따른 퓨전 성공률과 큐비트의 손실에 대한 상반되는 상관관계를 해결하기 위해, 광 손실에 대한 내성을 지닌 양자오류정정 부호를 활용하는 방법이 최근 제안되었다. 즉, 자원 상태를 미리 광 손실 내성을 지닌 부호로 부호화한 논리 큐비트를 이용해 생성하고, 이러한 부호화 자원 상태를 기반으로 부호화-FBQC를 구축하는 것이다. Bell 등16)에 의해 그래프 부호를 사용하는 방식이 제안되었고, Song 등4)은 패리티 부호를 사용하는 방식을 제안하였다. 해당 두 연구에서는 양자오류정정 부호(각각 그래프 부호와 패리티 부호)에 부호화한 논리 큐비트에 기반한 자원 상태를 만들어 각 논리 큐비트를 구성하는 물리 큐비트에 손실이 발생해도 정보를 잃지 않게 하며, 동시에 이러한 논리 큐비트 간에 수행되는 퓨전 연산을 새롭게 정의해 논리 큐비트를 구성하는 물리 큐비트의 수가 증가할수록 더 높은 퓨전 성공률을 확보할 수 있도록 하였다.16)17) 즉, 기존 방법의 자원 소모의 증가에 따른 큐비트 손실률과 퓨전 성공률에 대한 상반되는 상관관계를 극복하여, 부호화에 더 많은 물리 큐비트를 사용할수록 큐비트 손실에 대한 내성과 퓨전 성공률이 함께 증가하는 특성을 달성한 것이다. 해당 연구를 통해 자원 상태를 구성하는 물리 큐비트가 십여 개 내지는 수십 개 사용되는 수준에서 14%의 광자 손실률에 대한 결함허용을 달성하여 기존 FBQC 연구에서의 결과 대비 결함허용성을 10배 이상 향상시켰다. 이로써 FBQC의 구현에 있어 큰 장벽 하나를 넘어, 광자 큐비트의 생성 효율 개선 및 소규모 양자얽힘 상태의 효율적인 생성 방법이 달성된다면 광자 기반 양자컴퓨팅의 현실화에 한층 더 가까이 다가갈 수 있을 것이다.

맺음말

양자오류정정은 대규모 양자컴퓨터 실현을 위해서 필수적인 기술로 여러 플랫폼을 기반으로 다양한 오류정정 방식들이 연구되고 있다. 큐비트의 인코딩 효율을 높이기 위해 발전된 오류정정 부호들이 개발되고 있으며 이를 실질적으로 구현하기 위한 방식이 각각의 플랫폼에 맞추어 제안되고 있다. 이 글에서는 양자오류정정 분야의 최신 연구로 광학 기반 양자컴퓨팅에서 활용할 수 있는 하이브리드 큐비트 방식과 퓨전 기반 양자오류정정 방식을 간단히 소개하였다. 광학 체계에서는 다양한 인코딩 방식이 활용 가능하고 큐비트 간의 연결이 용이하다는 장점이 있어 대규모 오류정정 양자컴퓨팅이 가능한 플랫폼으로 주목받고 있다. 여기서 소개한 오류정정 기법들을 토대로 다양한 오류정정 부호들을 활용하여 더욱 효율적인 오류정정 양자컴퓨팅 구조를 개발할 수 있을 것으로 기대하고 있다.