조영설 (전북대), Sci. Adv. 11, eadt0355 (2025).

여과 현상(percolation)은 다공성의 물질에 유체가 침투하여 계를 여과하는 현상이다. 도체 연결선이 사각 격자 구조에 무작위로 채워질 때, 채워진 밀도가 임계점을 넘게 되면서 사각 격자를 여과하는 거시적 도체 클러스터가 형성되는 것이 여과 전이의 대표적인 예이다. 이러한 다양한 여과 전이 현상들을 이론적으로 이해하기 위해 주어진 격자 구조에 연결선을 채워서 연결선을 통해 서로 연결된 클러스터들의 형성이 연구되었다. 특히 계를 여과하는 거시적 클러스터의 형성이 주요 관심사가 되었으며, 각 개체가 거시적 클러스터에 포함되는 확률이 질서 변수로 사용된다. 연결선이 채워진 비율이 임계점을 넘어설 때 질서 변수가 0부터 연속적으로 증가하면 연속 여과 전이, 불연속적으로 증가하면 불연속 여과 전이가 발생한다.

▲ (a) 베테 격자 위에서 구현한 모형의 모식도, (b) 연결선이 채워진 비율에 따른 질서 변수, (c) 베테 격자 가지 위에서 구현한 모형의 모식도, (d) 베테 격자 가지 위에서 무작위 여과 모형에서의 연속 전이, 모형 (c)에서의 불연속 여과 전이와 이론식 실선을 비교한 그림.

여과 전이 모형은 보편적으로 연속 전이를 보이는 것으로 취급되었다. 하지만 2009년에 제시된 폭발적 여과 모형은 처음으로 불연속 여과 전이에 대한 가능성을 보여주었다. 이 모형에서는 매번 연결선을 하나씩 채울 때마다 먼저 후보 연결선 두 개를 무작위로 뽑는다. 다음에 두 개의 후보 연결선 중 연결시키는 클러스터 크기의 곱이 작은 후보 연결선을 골라서 채운다. 이것은 무작위로 연결선을 하나씩 채우는 과정에서 큰 클러스터의 형성을 억제시키는 역학이 추가된 것을 의미한다. 이 결과로 거시적인 클러스터의 형성이 늦춰지고 대신에 임계점에서 거시적인 클러스터가 급격하게 성장한다. 후속 연구에서 이 모형은 연속 여과 전이를 보이는 것으로 밝혀졌지만 후보 연결선들의 개수가 무한대로 가면 큰 클러스터의 형성이 전역적으로 억제되면서 불연속 여과 전이를 보이는 것으로 알려졌다.

본 연구에서는 각 연결선을 채울 때, 유한한 개수의 후보 연결선들을 고려하면서 불연속 여과 전이를 일으킬 수 있는지 탐구하였다. 먼저 지금까지 제시되었던 불연속 여과 전이 모형들이 공통적으로 전역적인 클러스터 크기 정보를 활용해 큰 클러스터들이 형성되지 않는 방향으로 링크를 하나씩 붙이는 통치자가 전제되었음에 착안하였다.

하지만 여과 현상을 취급하는 분야인 통계 물리에서는 일반적으로 각 개체들이 주변의 이웃들과 상호작용하여 일으키는 거시적인 창발 현상을 연구한다. 이러한 연구 기조를 참고해서 우리는 각 개체가 채워진 연결선들을 이웃한 작은 클러스터들로 능동적으로 재배치하도록 설정하였다. 이 경우, 각 개체가 자신의 연결선들을 채워나갈 때, 이웃한 유한한 개수의 후보 연결선들만 고려하기 때문에 우리가 제시한 조건을 만족하게 된다.

우리는 나무 구조를 가지는 격자인 베테 격자 위에서 이 과정을 구현하였고(그림 (a)) 불연속 여과 전이를 관측하였다(그림 (b)). 하지만 베테 격자의 경우 계층 구조가 없기 때문에 각 개체들이 자신이 속하는 클러스터를 작게 만들기 위해 이웃들과 경쟁하게 되고, 정상 상태(steady state)를 해석적으로 구하기 어렵다. 우리는 베테 격자 위에서의 거시적 클러스터가 가지(branch)를 따라 뻗어 나가는 형태라는 점에 착안하여, 계층 구조를 가지는 가지 위에서 거시적 클러스터가 뻗어 내려가는 문제로 단순화하였다(그림 (c)). 이 문제는 정상 상태를 해석적으로 구할 수 있으며, 불연속 여과 전이가 발생하는 것이 해석적으로 입증되었다(그림 (d)).

비록 이번 연구에서는 베테 격자가 사용되었지만 나무 구조를 가지는 다양한 격자 위에서 불연속 여과 상전이가 보편적으로 관측될 것이라고 기대한다. 또한 나무 구조를 벗어난 격자 구조에서도 다양한 흥미로운 결과가 관측될 수 있다.

이이 결과는 산불이나 전염병같이 각 개체들이 적극적으로 억제에 동참하는 대형 재난의 경우 전파력이 임계값을 넘어서면 급격한 창발이 일어나기 때문에 미리 조심해야 하는 것을 시사한다. 또한 본 연구는 불연속 여과 전이를 통계 물리학의 보편적인 연구 주제인 개별 개체의 지역적인 행동으로 인한 창발 현상으로 연장했다는 점에서 의미가 있다.