Frontiers of Quantum Black Holes

Wontae KIM and Mu-In PARK

A black hole is a theoretical prediction of Einstein’s general theory of relativity, differently from Newtonian gravity, which is a non-relativistic gravity. In recent few years, its direct detection via gravitational waves and other multi-messenger observations have made it possible to test the prediction and hence its associated general relativity. From purely theoretical points of view, general relativity cannot be a complete description due to its not being compatible with quantum mechanics, which is a successful description of microscopic objects. In this article, we introduce the conceptional development of quantum-gravity theories and give brief sketches of fundamental problems in quantum black holes. As an interesting model of quantum black holes, we consider a collapsing shell of matter to form a Hayward black hole and investigate semiclassically quantum radiation from the shell. By using the Israel’s formulation and the functional Schrödinger formulation for massless quantum radiation, we find that the Hawking temperature can be deduced from the occupation number of excited states when the shell approaches its own horizon.

들어가며

중력은 가장 오래전부터 알려진 자연의 근본적인 힘이고 아인슈타인의 일반상대성이론(general relativity)을 통한 중력의 새로운 이해는 인류의 가장 놀라운 “발견”임에는 틀림이 없고 관측적으로도 놀라운 성공을 거두어 왔다. 그럼에도 불구하고 일반상대성이론이 “근본적인 면에서는 완전한 이론이 아닐 것”이라는 논의가 오래전부터 있어왔는데, 그것은 모두 또 다른 자연의 중요한 원리인 양자역학(quantum mechanics)을 모순 없이 일반상대성이론과 통합하지 못하는 것에 기인한다는 것에 공감대가 형성이 되어 있다.

가령, 고전적으로 성공적이었던 일반상대성이론의 양자효과를 계산하면 항상 발산(divergence)하는 문제가 있고 재규격화(renormalization: 무한대를 관측 가능한 유한한 양들로 다시 표현하는 것)가 되지 않는다는 것이다. 이것은 일반 상대성 이론에서 중력상수 G가 에너지를 증가시킴에 따라(즉, 가까운 거리일수록) 커지게 되기 때문이다. 이런 고에너지 발산의 문제를 해결하기 위해서 일반상대성이론에 추가적으로 고차의 곡률항(higher-curvature terms)을 도입하는 시도가 있었으나 항상 음의 운동에너지를 갖는 유령입자(ghost)를 피할 수 없어서 (ghost problem) 성공하지 못하였다. 양자중력(quantum gravity)이론이 재규격화가능(renormalizable)해야 한다는 것은 이론을 (유한한) 자연과 비교할 수 있어야 한다는 실제적인 문제를 넘어서 더 깊은 물리적 이유가 있을 것이라는 것이 윌슨(K. Wilson), 폴친스티(J. Polchinski) 등의 현대적인 견해(재규격화 군: renormalization group)이다.

이러한 상황에서, 12년 전인 2009년 1월에 피터 호자바(P. Horava)에 의해 이런 유령입자문제가 없이 재규격화 가능한 새로운 중력이론이 제안되었다.1) 그러나 놀랍게도 이것을 위해서는 극도로 높은 에너지(UV)에서 상대성이론의 로렌츠대칭성(Lorentz symmetry)이 깨어져야 한다는 것이다. 사실 오래전부터, (i) 양자중력에서는 “높은 에너지에서 상대성이론이 깨어질 수 있다”는 것을 암시한다는 논의가 있어왔다는 사실과, (ii) 양자효과가 지배하는 미시적인 시-공 영역(플랑크길이 근방 또는 그 이하의 영역에 해당함)이 우리가 일상에서 인식하고 있는 매끄러운 연속체가 아니고 존 훨러(J. A. Wheeler)의 논의처럼 비누거품(space-time foam)과 같이 요동하는 세계라고 생각하면, 더 이상 매끄러운 시공연속체에 대한 로렌츠 대칭성을 고집하지 않는 것이 더 자연스럽게 생각된다.

일반상대성 이론을 재규격화가 가능하도록 수정한 호자바의 새로운 중력이론은 여러 면에서 바람직한 이론의 냄새가 난다. 특히 (i) 우주초기의 특이점문제(initial singularity problem)가 없다는 것과, (ii) 호자바 이론에서 중력장의 전파속도가 우주초기에 커진다는 사실로부터 인플라톤 스칼라장(inflaton scalar field)을 도입하지 않고 인플레이션 우주론(inflationary cosmology)을 새롭게 구현할 수 있을 것이라는 추측,2)3) (iii) 그리고 기술적으로 현재 우주섭동론(cosmological perturbations) 분석에 실제적으로 쓰이는 소위, 유효장론(effective field theory)의 형태를 취하고 있다는 사실로부터 앞으로 우주론에서 그 중요성이 더욱 커지리라 생각된다.4) 

본 글에서는 아인슈타인이 일반상대성이론을 발견하는 과정에서부터 최근의 새로운 양자중력이론이 나오기까지의 흐름을 개념적으로 살펴보고, 이론적으로 예측되는 양자블랙홀의 근본적인 문제에 대해서 간단히 소개하고자 한다.

한편, 최근 화제가 되었던 라이고 과학협력단의 중력파 관측으로 인해 20세기에 아인슈타인이 처음 제시한 일반 상대성 이론이 검증되었다. 특히 이 관측은 블랙홀-블랙홀 쌍성의 소멸을 최초로 직접 관측한 증거이기 때문에 블랙홀 질량, 스핀 등을 관측으로 정확하게 측정한 첫 사례이기도 하다. 드디어 블랙홀 관측의 시대가 열린 것이다.

그러나 익히 알려진 바와 같이 블랙홀은 상대성 이론뿐만 아니라 양자중력이론의 측면에서도 중요한 연구 주제이다. 블랙홀은 매우 무거운 질량을 가진 천체로 시공간을 심하게 왜곡시켜 고전적으로는 빛조차 빠져나올 수 없다. 하지만 블랙홀 주변의 양자 요동으로 인해, 양자역학적으로는 블랙홀과 멀리 떨어진 지점에서 양자 복사가 관측된다는 주장이 제시되었다. 호킹 복사(Hawking radiation)라고 불리는 이 양자 복사에 의해 블랙홀은 점점 증발하게 된다면 결국 소멸하게 될 것이다. 이때 양자 복사는 온도로만 특정되는 열적 복사로, 블랙홀이 지니고 있던 입자의 여러 가지 정보들은 블랙홀이 소멸하면 분실될 것이다. 이것은 양자역학적인 “확률(probability; 정보)은 보존된다는 지식”과 모순되고 블랙홀 정보 분실 문제(information paradox)라 불리며 양자중력이론이 풀어야 할 숙제로 남아있다.

그동안 블랙홀 정보 분실 문제를 해결할 방안으로 여러 가지 방법들이 제시되었으나, 본 글에서는 블랙홀이 형성되는 시점에서 발생하는 양자 복사를 자세히 살펴봄으로써 정보 분실 문제와 관련한 실마리를 탐구해 보고자 한다.5)

일반상대성 이론을 발견하기까지

대학 졸업 후 스위스 특허청의 젊은 아인슈타인에게는 당시의 최신 이론인 맥스웰(C. Maxwell)의 전자기 이론이 완성된 뉴턴(I. Newton)의 역학체계와 잘 조화되지 못하는 것 같은 현상을 어떻게 이해할 수 있는가가 주된 관심사 중의 하나였다 (이와 동시에 광양자 이론, 브라운 운동 문제도 연구하고 있었다). 

이를 이해하기 위해서 우선 뉴턴역학에서는 (갈릴레이(G. Galilei)가 처음 생각한) 상대성 원리(relativity principle)가 내포되어 있다. 즉, 관성운동하는 관측자에게는 특별한 기준계(reference frame)가 없이 모든 기준계가 동일하다. 이와 더불어 관측자의 운동과 무관하게 (우주전체에 존재하는) 절대시간, 절대공간의 개념과 논리적으로 모순되지는 않는다. 그러나 맥스웰의 전자기 이론에 따르면 전선주위에 발생하는 자기유도 현상은 관측자의 운동에 의존하게 된다. 즉, 이러한 상황에서는 정지와 운동이 (불필요하게) 구분되어서 역학에서의 상대성 원리가 적용되지 않는 상황이 발생한다. 이것은 좀 더 수학적으로는 모든 전자기 현상을 잘 기술하는 맥스웰 방정식이 정지한 관측자와 (관성) 운동하는 관측자에게 다른 형태로 나온다는 것에 기인한다. 

실제로 이러한 정지와 운동의 차이를 지구 위의 관측자 입장에서 측정해 보려는 시도가 마이켈슨-몰리(Michelson-Morley)가 하였으나 검출에 실패(1887년)하게 된다. 이것이 영민한 로렌츠(H. A. Lorentz)로 하여금 정지와 운동하는 관측자의 새로운 좌표변환(로렌츠 변환: Lorentz transfomation)을 고안하게 하였고 이로서 맥스웰 방정식은 모든 관성계에 대해서 동일한 형태를 갖게, 즉 광속(전자기파의 속력)이 관측자의 운동과는 무관하게 되었다. 그러나 (마지막 고전물리학자 답게) 로렌츠는 이 새로운 좌표 변환에 물리적 의미를 부여하지는 못하였고 여전히 절대 정지물질인 에테르(진공에서도 전자기파가 전파되는 가상적인 매질: aether)를 버리지 못하였다.

아마도 아인슈타인은 특허청에서 틈틈이 로렌츠 변환의 물리적 의미에 대해서 생각하고, 시간과 공간의 관측적인 의미에 대해서 깊은 사고 실험을 했던 것으로 보인다. 그 결과는 (i) 광속이 관측자의 운동에 무관하다는 사실과 (ii) 뉴턴역학에 내포된 상대성 원리를 근본 “공리”로 받아들이면, 관측자가 “실제로 측정”하는 시간과 공간은 (에테르를 가정하지 않고도) 관측자의 운동에 따라서 정확히 로렌츠 변환대로 변화해야 한다는 것을 발견하였다. 이로부터 불가피하게 뉴턴역학체계는 수정이 불가피하게 되어 (그러나 맥스웰 방정식은 그대로 유효하게), 광속 c는 모든 물질의 한계속도로, 물질의 속도가 광속에 비해서 아주 작을 때만 뉴턴역학이 성립하게 되었다(1905. 6. 30). (수학자인 포앵까레(H.Poincare)도 아주 근접한 결론에 도달했지만(1905. 7. 23) 여전히 절대 시간, 공간의 개념을 완전히 버리지 못한 것으로 알려져 있다.)

위의 상대성 이론(특수 상대성이론(special relativity)이라 불림)을 발견한 후에, 아인슈타인은 2가지 면에서 불완전하다는 것을 깨달았다. (i) 우선 뉴턴의 중력은 순간적으로 작용하는 것으로 상대성 이론의 한계속도인 광속보다 빠른 작용이 필요하고, (시간의 상대성으로 인하여) 관측자의 운동에 의존하여 중력이 바뀌게 되어야 한다. 반면에 전자기 힘을 매개하는 전자기장은 빛의 속도로만 전파된다. (ii) 또 다른 어려움은 가속하는 (비관성계의) 관측자에게는 특수 상대성 이론이 적용이 안 되고 여전히 등속운동과 가속 운동을 (불필요하게) 구분하는 것으로 보인다는 것이다.

아인슈타인은 그 이후 10년간, 세기적 천재인 그도 더 이상 연구할 기력이 없을 정도의 치열한 시행착오와 우여곡절6) 끝에 1915년 11월 25일에 일반 상대성이론(general relativity)의 최종 방정식을 출판하게 된다. 최종 결과까지 크게 3번의 시행착오 과정을 거쳤는데, 우선 1907년 12월 4일의 논문에서 일반상대성을 향한 개념적인 돌파구를 제시하였는데, 즉 (1) 상대성 원리는 등가원리(equivalence principle)로 확장되어서 “자유낙하(free falling)”하는 관측자에게는 특수상대성 이론이 여전히 적용이 되고 (2) (균일한) 중력과 가속계는 구분할 수 없다는 것을 사고실험을 통하여 유추해 냈다. 더 나아가 이것으로부터 간단한 계산을 통하여 중력장에서의 빛의 굴절(가속계의 직진하는 빛은 등가인 중력에서의 정지 관측자에게는 빛이 굴절하는 것으로 보임)과 시간팽창(time dilation) 또는 분광선의 적색편이(red shift)를 나타낼 것을 예측하였다. 그러나 극히 미미한 효과로 과연 관측될 수 있을지에 대해 회의적이었고 물론 “그의 방향이 옳은지 아닌지에 대한 명백한 관측적인 증거는 없었다.” 1911년에는 1907년의 논의를 좀 더 엄밀하게 밀고 나가서 (1) 태양 주위에서의 빛의 굴절량을 0.83 arcsec 계산하고 일식 때 관측하는 실험을 제안하고 (2) 분광선의 적색편이를 2\(\times\)10^‒6로 계산하였다. 

그러나 여전히 이론에 대한 확실한 관측적인 증거는 없었다. 더구나 나중에 밝혀진 것이지만, 초기의 계산이 완전하지는 않아서 위의 예측값이 실제의 반밖에 되지 않는데, 이것은 (가령 빛의 굴절의 경우) 뉴턴 중력을 (사실은 정당한 방법은 아닌) 적용하면 얻을 수 있는 값과 동일하다. (정확한 결과는 1915년의 최종적인 방정식에 의해서만 완벽히 얻어지고 시간과 공간을 동등하게 다루는 일반공변성(general covariance)이 결정적인 역할을 하게 된다.) 한편, 회전하는 원반 위의 관측자처럼, 시간-공간적으로 균일하지 않은 중력장과 등가인 가속도계의 시간과 공간은 비유클리드 기하학을 고려해야 함을 사고실험으로 논증하였다. 1911년 논문 이후에 이러한 4차원의 비유클리드 기하학을 다루는데 예전의 자기의 은사였던 민코프스키(H. Minkowski)의 (특수)상대론의 4차원적 접근 방법(시간을 시간-공간 연속체의 4번째 좌표로 취급하는 수식론: 예전에는 단지 공허한 수학적 표현이라고 생각하여 중요하게 생각하지 않음)이 유용하다는 것을 알아차렸다. 

2번째의 시행착오 과정(1912-1915, 11월)은 1912년 스위스로 돌아가 이제 4차원 비유클리드 기하학을 배우고, 수학자 레비치비타(T. Levi-Civita)의 제안에 따라, 그러한 일반적인 비유클리드(non-Euclidean) 시-공을 기술하기 위해서, 텐서(tensor)를 이용한 일반공변인 중력이론을 탐구하기 시작한다. 이때, 그 이론에 요구되는 성질로 (1) 뉴턴 중력을 극한으로 가질 것 (2) 빛의 굴절효과를 줄 것 (3) 수성의 근일점의 세차운동을 설명할 것을 요구하였다. 여기서, 마지막 항목은 뉴턴 중력 내에서 아주 미세하게 관측과 불일치하는 부분이 있고 이것을 상대론이 해결해야 할 것이라는 최초의 발상이다 (사실 당시에 미지의 행성 X를 생각하고 그 효과로 이 세차운동 문제를 해결하고자 하였다.)

아인슈타인은 동급생인 수학자 그로스만(M. Grossmann)의 도움을 받아가며 모든 가능한 공변식(covariant equation)을 조사했지만 (1) 뉴턴 극한을 얻을 수 없고 (2) 물질의 에너지와 운동량은 보존이 되지 않는다는 (잘못된) 결론에 도달하였다(Zurich Notebook (1912)). 1913년에는 자신의 접근방법을 틀린 것으로 포기하고 1914-1915년간 공변성이 없는 새로운 접근 방법을 시도했으나 여전히 모순된 결과만 주게 되었다. 이러한 우여곡절 끝에 결국에는 1912년의 연구노트를 다시 보게 되었고, 1915년 11월에는 공변식 \(\small R_{\mu\nu} = T_{\mu\nu}\)(좌변은 비유클리드 시-공의 곡률(리치 텐서라 부름))에 도달하고 수성의 세차운동을 설명하지만 여전히 물질의 에너지, 운동량은 일반적인 상황에서 보존되지 않는 문제가 있었다. 

이제 바야흐로 1915년 11월의 강연에서 최종적으로 \(\small R_{\mu\nu}-(1/2)Rg_{\mu\nu}=T_{\mu\nu}\)(아인슈타인 방정식이라 불림)을 발표하였고 처음에 요구하였던 성질, 즉 (1) 약한 중력에서의 뉴턴 중력으로 근사됨 (2) 수성의 세차운동의 불일치 값을 43 arcsec/century로 계산하여 관측과 일치된 결과를 줌 (3) 태양근방에서의 빛의 굴절량은 1.7 arcsec로 계산하였다. 아인슈타인은 여기서 관측된 수성의 세차운동을 설명하는 것으로부터 자신의 이론이 옳은 방향으로 가고 있음을 확신했다. 한편 이때 계산된 빛의 굴절량은 1911년의 계산값의 2배이고, 그 이유는 예전 계산에는 “등가원리만 고려”하였고 비유클리드적 굽은 공간(curved space)의 효과를 고려하지 않았기 때문인데 최종적인 공변식에는 모두 다 고려되었다는 점이 중요하다.

사실 최종단계에서 수학자 힐베르트(D. Hilbert)와 경쟁관계에 있어서 선취권을 두고 꽤 긴박하게 상황이 전개되었고, 힐베르트도 동일한 결론을 11월 16일에 논문을 투고하여 20일에 출판하였다. 그러나 사실 처음 투고된 논문에서 중대한 오류가 나중에 수정되어 아인슈타인과 동일한 방정식을 출판하였다는 것과, 아인슈타인은 이 결과를 힐베르트 논문 이전에 이미 공개강연에서 공표하였다는 것으로부터 아인슈타인이 최초 발견자라고 하는 것이 옳은 것으로 보인다. 물론, 수학자인 힐베르트는 자신의 방정식으로부터 구체적인 물리적인 예측을 하지 못하기도 하였다.

이제 다시 최종의 방정식인 \(\small R_{\mu\nu}-(1/2)Rg_{\mu\nu}=T_{\mu\nu}\)의 바로 직전의 방정식 \(\small R_{\mu\nu} = T_{\mu\nu}\)을 보면 물질이 없는 진공(\(\small T_{\mu\nu}=0\))에서는 동일한 방정식이고, 따라서 수성의 세차 운동처럼 천체의 외부에서의 운동에 관한 한 동일한 결과를 주게 되는 것이 쉽게 이해가 된다. 그러나, 일반적으로 (별의 내부처럼) 물질이 분포하는 시-공간을 기술하는 것에는 차이가 분명이 드러나게 된다. 한편, 예측한 대로의 태양 주위의 빛의 굴절효과는 1919년 에딩턴(A. Eddington) 그룹에 의해서 확인되었고 적색편이는 (아인슈타인 사후) 1959년에 확인되었다.

아인슈타인을 넘어서: 양자중력이론을 찾아

일반상대성이론은 서로 독립적으로 존재하던 중력(gravity)과 가속계에서 느끼는 관성력(inertial force)이 결국은 동일한 현상의 다른 모습이라는 새로운 원리(등가원리: equivalence principle)의 발견으로부터 탄생한 자연의 아름다운 이론이다. 이 이론은 (1) 뉴턴 중력에서 “왜 중력가속도가 물체의 질량과는 무관한지에 대한 새로운 해석을 제공”할 뿐 아니라, (2) 오랜 미해결 문제였던 수성의 근일점 이동을 정확히 계산하였고, (3) 태양 근방의 강한 중력장에서의 빛의 굴절을 “새로이” 예측하고 얼마 후에 관측적으로도 확인되는 성공을 거두었다.

다음 장에서 좀 더 자세히 논의하겠지만, 일반 상대론에 또 다른 중요한 예측 중에 하나는 “유한한 한계속도인 광속”으로 인하여, 뉴턴 중력과는 다르게, 어떠한 물체 및 빛도 일단 들어가면 탈출할 수 없는 영역(사건의 지평선(event horizon)이라 부름)이 가능하고 이러한 닫힌 영역을 갖는 블랙홀(black hole)의 존재가 예언되었으며7) 최근에야 실험적인 확인이 가능하게 되었다. 

등가원리는 가속도까지 있는 일반좌표변환(general coordinate transformation)을 통하여 좌표계들 사이의 변환이 가능하고 물리적으로 동등하다는 원리이다. 이것의 중요한 예로  중력장 위에서 자유 낙하하는 관찰자에게는 중력이 없는 편평한(flat) 공간을 관측하게 되고, 이것은 국소영역을 충분히 작게 잡으면 항상 가능하다(locally flat)는 것을 의미한다. 그러나 이 원리는 무한히 작은 시-공 영역에서도 성립하는 것일까? 사실 이미 오래 전부터 우리가 미시영역에서의 양자역학적 효과를 고려한다면 모순에 도달할 것이라는 논의가 있어 왔다. 가령, 광속 c와 중력상수 G로 담고 있는 일반 상대성 이론과 플랑크상수 \(\small h\)를 담고 있는 양자역학을 결합하면 어떤 길이 차원 \(\small l_P \equiv\sqrt{\frac{hG}{2\pi c^3 }}1.6\times 10^{‒35}m\)(플랑크 길이, Planck length)이 존재해서 이것을 경계로 양자적 효과가 우세한지(\(\small l < l_P\)) 고전적인 일반상대론적인 효과가 우세할지(\(\small l > l_P\))가 결정이 된다. 가령, 블랙홀을 생각하면 이것의 양자역학적 드브로이 파장은 전자인 경우 블랙홀의 사건의 지평선보다 커져서 더 이상 일반상대성 이론의 고전적인 입자로서의 블랙홀로 취급할 수 없다는 얘기이고, 반대의 경우에는 드브로이 파를 무시하고 고전 입자적으로 다룰 수 있다는 것이다. 

위의 논의는 우리가 양자역학을 원리대로 적용한다면 어렵지 않게 도출해 낼 수 있을 것이다. 이제부터 이것으로부터 의외의 결론에 도달하게 되는데, 문제는 블랙홀이라는 것이 고전적인 매끄러운(smooth) 시-공 연속체로 형성되었다는 것으로부터 출발한다. 즉, 위의 전자의 경우에서처럼 “블랙홀을 (확률적인) 파동으로 취급”해야 한다는 말은 곧 그것을 만들고 있는 “시공간도 더 이상의 고전적인 시간-공간으로서가 아니라 확률적인 개념으로서만 존재”하여야 한다는 말이다! 이러한 문제는 입자물리현상을 성공적으로 기술하는 양자장이론(quantum field theory)에서는 부딪히지 않았던 새로운 문제이고 무한개의 원점 진동인 진공요동(vacuum fluctuations)에서 생성되었다가 소멸되는 블랙홀로 인하여, 중력의 양자화에서는 항상 발생하는 현상임을 예측할 수 있다. 

실제로 일반상대성이론을 양자장이론에서 성공했던 파인만의 경로적분 양자화(path integral quantization)를 해보면 “관측할” 계산값이 발산하는 문제를 해결하지 못하여서, 즉 재규격화(renormalization)가 가능하지 않게 된다. 이것은 근본적으로 위에서 논의한 양자블랙홀(quantum black hole) 또는 양자시공간(quantum space-time)을 잘 기술하는 양자중력이론 (quantum gravity theory)을 알지 못한다는 것에 기인하는 것으로 믿어진다. 그리고 들어가기에서 잠깐 논의하였지만, 재규격화 가능성(renormalizability)은 올바른 이론에 대한 깊은 물리적 동기를 제공한다는 것이 현대적인 이해이다. 물론, 발산의 문제는, 이미 언급하였듯이, 아인슈타인의 이론의 원리, 즉 로렌츠 불변성을 유지하면서 고차의 곡률(curvature)항을 고려하면 개선할 수 있지만, 동시에 음의 에너지를 수반하는 새로운 중력파 편극이 존재하게 되어 양자이론의 총 확률이 보존되지 않는(unitarity violation) 문제가 항상 발생하게 된다.

앞에서 논의한 바와 같이, 이러한 일반상대성 이론이나 로렌츠 불변인 고차의 곡률의 더 일반적인 중력이론들의 유령입자 문제를 해결하기 위해서, 호자바는 “시간에 대해서는 여전히 2차 미분이지만 공간에 대해서는 고차의 미분이 있는” 새로운 중력이론을 제안하였다. 예전의 고차이론에서 고차의 시간미분으로 인하여 발생하던 유령입자가 여기서는 발생하지 않을 뿐 아니라, 고차의 공간미분을 통하여 UV에서 무한대로 발산하지 않을 수 있는 가능성을 보여 주었다. 이 이론은 시간과 공간을 서로 동등하지 않게 취급함으로써 로렌츠 대칭성이 UV에서 명백히 깨어지게 되고, 결과적으로 재규격화 가능한 양자이론이 가능하게 되었다. 여기에서 UV에서 로렌츠 대칭성이 깨어졌다는 말은 일반상대성 이론의 “등가원리가 UV에서 깨어져야 함”을 의미한다.

사실, 여기서는 자세히 논의는 하지 않겠지만, 좀 더 깊이 일관성 있는 (양자중력) 이론이 가능하도록 등가원리를 고찰해보면 양자역학적인 원리와 “실천적”으로 조화가 되지 않고 (i)두 가지 원리가 모두 수정되는지, 아니면 (ii) 최소한 하나의 원리는 버려야 한다는 것을 논증할 수 있다. 이 사실은 양자역학이 지배하는 플랑크 길이 이하의 “확률적인 시공”이 훨러의 비누거품과 같이 요동하는 세계에서는 로렌츠 대칭성이 “자명하지 않다”는 것으로도 이해가 될 수 있겠다. 이 새로운 양자중력의 후보에 대해서 지난 12년간 많은 연구가 있어왔지만 아직도 예전의 아인슈타인이 수성의 근일점에서 가졌던 만큼의 관측적인 확신을 줄 수 있는 단서는 발견되지 못하고 있다. 이 새로운 중력이론에 의하면 일반상대성이론에서의 블랙홀의 특이점이 완전히 “없어지지는 않지만 상당히 완화”되게 되고8)(아마도 양자효과에 의해서 특이점이 없어지리라는 추측이 있다), 앞으로의 좀 더 정확한 관측이 가능해지면 이러한 예측을 검증할 수 있으리라 기대가 된다. 아울러 입자물리학에서의 양자장이론의 재규격화 가능에 대한 증명이 아직은 초보적인 발전단계에 있어서 일반적인 재규격화의 증명까지는 시간이 해결해 줄 문제이다.

특이점이 없는 블랙홀: 형성과 양자복사

1. 특이점이 없는 블랙홀의 형성

블랙홀은 시공간에 대한 미분 방정식인 아인슈타인 방정식을 만족하는 해로 강한 중력 효과로 인해 빛조차 빠져나가지 못하는 영역이 존재한다. 가장 간단한 해로는 슈왈츠쉴트 블랙홀(Schwarzschild black hole)이 알려져 있는데, 이 블랙홀 해의 곡률을 계산하면 원점에서 무한대로 발산하는 특이점(singularity)이 나타난다. 이를 극복하기 위해 2006년에 헤이워드(S. A. Hayward)가 원점에서 먼 거리에서는 슈왈츠쉴트 블랙홀과 비슷하고, 원점과 가까운 거리에서는 양의 우주 상수가 있는 드지터(de Sitter) 공간과 유사한 헤이워드 블랙홀(Hayward black hole)을 제시하였다.9) 이 블랙홀의 사건의 지평선은 블랙홀 질량 \(\small M\)뿐만 아니라 허블 길이(Hubble length) \(\small l\)에도 의존한다. 또한, 경계 질량 값인 \(\small M^* = (3\sqrt{3}/4)l\)을 기준으로 질량이 이보다 크면 두 개의 지평선을 가지는 블랙홀이 되고, 작으면 블랙홀 해가 되지 않는다. 마지막으로 경계 질량 값일 때는 극대(extreme) 블랙홀이 된다.

이제 실제로 이런 구형 대칭성을 지닌 블랙홀이 천체의 붕괴로부터 형성이 되는지 보기 위해서 구형 대칭성을 지닌 얇은 질량 껍질(thin mass shell)을 생각해 볼 수 있다. 이때 껍질의 외부와 내부의 시공간이 각각 블랙홀 해와 평평한 시공간인 민코프스키 시공간(Minkowski spacetime)으로 주어진다고 가정하자. 그러면 이 껍질은 두 시공간의 경계면이 된다. 한편 경계면을 포함한 전체 시공간은 아인슈타인 방정식을 만족해야 한다. 시공간을 기술하는 계량 텐서(metric tensor) \(\small g_{\mu\nu}\)가 경계면에서 연속적이고 계량 텐서의 도함수의 불연속성이 껍질에 수직한 방향으로만 나타난다는 두 개의 접합 조건(junction condition)을 이용하면, 아인슈타인 방정식이 각각 껍질의 외부와 내부, 그리고 껍질 위에서만 정의된 세 개의 부분으로 분리됨을 알 수 있다. 이렇게 얇은 막에 의해 양분된 시공간 모델은 1920년대부터 연구돼왔는데 1966년에 이스라엘(W. Israel)이 위의 정리에 크게 공헌하여, 이와 같은 껍질 위에서의 접합 조건을 이스라엘 접합 조건(Israel junction condition)이라고 부른다.10)

껍질의 질량 밀도 및 장력이 균일하다고 가정하면, 껍질 위에서의 아인슈타인 방정식은 시간에 대한 껍질의 반지름의 일차 미분 방정식이 된다. 따라서 이 미분 방정식의 해를 구하면 블랙홀을 형성하는 구 껍질의 움직임을 정확히 기술할 수 있다. 특별히 구 껍질의 반지름이 블랙홀의 사건의 지평선에 매우 가까워졌을 때의 극한에서 미분 방정식을 풀어보면, 반지름이 시간에 따라 지수함수적으로 감소하여 결국 블랙홀의 사건의 지평선에 가까워진다. 즉, 실제로 붕괴하는 껍질로부터 블랙홀이 형성됨을 알 수 있다. 

2. 붕괴하는 껍질의 양자 복사

이렇게 블랙홀이 형성되는 과정에서의 양자역학적 효과를 준고전적 근사(semiclassical approximation)를 사용해서 살펴보고자 한다. 준고전적 근사는 휘어진 시공간을 배경으로 그 위에서 움직이는 입자만 양자화하여 양자중력 효과를 분석하는 근사 방법이다. 예를 들어, 헤이워드 블랙홀을 형성하게 되는 구 껍질의 양자 복사를 구 껍질에서 무한히 멀리 떨어진 관찰자가 관측한다고 가정하자. 앞서 설정한 바와 같이, 구 껍질 바깥쪽의 시공간은 헤이워드 블랙홀로 주어지기 때문에 구 껍질과 무한히 먼 지점에서는 시공간이 거의 평평해진다. 따라서 이 지점에서는 평평한 시공간에서의 양자역학적 효과를 분석하는 도구였던 슈뢰딩거 방정식을 사용할 수 있다. 다만, 점 입자에 대한 방정식이었던 기존의 슈뢰딩거 방정식이 아니라, 입자가 장(field)으로 표현되는 양자 복사에 대한 방정식으로 대치되어 범함수적 슈뢰딩거 방정식(functional Schrödinger equation)을 사용해야 한다. 이 방정식을 유도하기 위해 가장 간단한 스칼라장(scalar field)을 시간, 원점으로부터의 거리, 그리고 두 개의 각으로 변수 분리한 후, 휘어진 공간에서 스칼라장에 대한 작용양(action)을 시간을 제외하고 적분한다. 그리고 구 껍질이 사건의 지평선에 매우 가까워지는 극한을 적용하여 작용양으로부터 해밀토니안(Hamiltonian)을 유도하면 범함수적 슈뢰딩거 방정식을 얻어낼 수 있다. 이때 방정식은 시간에 의존하는 각진동수를 지닌 조화 진동자가 만족하는 슈뢰딩거 방정식과 정확히 일치한다.

이제 범함수적 슈뢰딩거 방정식이 만족하는 파동함수를 구하면 껍질로부터 무한히 멀리 떨어진 관찰자가 보는 양자 복사를 시간에 따라 기술할 수 있다. 앞서 이용한 구 껍질이 블랙홀을 형성하기 직전의 극한에서는 파동함수의 해가 알려져 있는데, 이는 일반적인 조화진동자에서의 고유 상태(eigen state)와 유사한 결맞음 상태(coherent state)의 선형 결합으로 주어진다. 양자화된 에너지의 최소 단위를 입자 한 개의 에너지라고 가정할 때 점유수(occupation number)는 양자 복사의 에너지 분포함수이다. [그림 1]은 점유수를 유한한 시간이 흘렀을 때와 무한히 시간이 흐른 후를 비교하여 나타낸 그래프이다. 구 껍질이 처음 붕괴하기 시작할 때 가장 낮은 에너지 준위에 있던 양자 복사는 유한한 시간 동안 요동치는 형태로 나타나다가 블랙홀이 형성되면 그림 1(b)와 같이 플랑크 분포를 따른다. 이러한 사실은 양자 복사가 처음에는 열적 복사가 아니었으나 블랙홀이 형성됨에 따라 열적 복사로 바뀜을 의미하며 온도는 헤이워드 블랙홀의 호킹 온도(Hawking temperature)로 나타난다. 이처럼 블랙홀의 형성에 따라 열적 복사가 나타나는 결과는 슈왈츠쉴트 블랙홀과 라이스너-노르드스트롬(Reissner-Nordström) 블랙홀에 대한 선행연구11)12)의 결과와 일치하였다. 또한, 극대 블랙홀에 가까워질수록 그림 1(a)에서 보이는 것과 같이 유한한 시간에서부터 양자 복사가 사라지는 현상을 통해 극대 블랙홀의 호킹 온도가 영인 사실과 잘 일치함을 확인할 수 있다.

마치며

본 글에서는 아인슈타인이 일반상대성이론을 발견하는 과정에서부터 최근의 새로운 양자중력이론이 나오기까지의 흐름을 개념적으로 살펴보고, 이론적으로 예측되는 양자블랙홀의 근본적인 문제와 앞으로의 관측적, 이론적인 전망 등에 대해서 간단히 소개하였다.

한편, 양자 블랙홀의 고전적인 모델로서 헤이워드 블랙홀의 구 껍질에 의한 생성 과정을 구명하고, 그 과정에서 발생하는 양자 복사를 살펴보았다. 구 껍질의 양자 복사는 처음에는 열적 복사와 일치하지 않다가 블랙홀이 형성될 때는 기존의 호킹 복사와 같아짐을 확인할 수 있었다. 앞으로 다가올 블랙홀 관측의 시대를 맞이하여, 본 연구와 같이 이론적으로 다뤄졌던 블랙홀의 생성과 복사 과정을 실험적으로 검증할 수 있으리라 기대한다.