Einstein’s General Theory of Relativity and the Development of Modified Theories of Gravitation

Bogeun GWAK, Bum-Hoon LEE and Wonwoo LEE

We briefly review both Einstein’s general theory of relativity and the development of modified theories of gravitation with theoretical and observational motivations. For this, we discuss the theoretical properties and weaknesses of general relativity. We also mention attempts that have been made to develop the theory of quantum gravity. The recent detections of a gravitational wave, dark matter, and dark energy have opened new windows into astrophysics, as well as cosmology, through which tests to determine the theory of gravitation that best describes our Universe would be interesting. Most of all, note that we cannot clearly describe our Universe, including dark matter and dark energy, with standard particle models and the general theory of relativity. In these respects, we must be open-minded and study all possible aspects.

들어가는 말

일찍이 인류는 하늘을 보며 살았다. 최초의 과학자라고 불리는 밀레토스의 아낙시만드로스1)는, 일명 최초의 과학 도구인 그노몬(gnomon)이라는 막대를 땅에 수직으로 세워 하루 중 그림자가 가장 짧을 때인 정오의 때를 찾고, 일 년 동안 재어서 그림자가 가장 짧은 날(하지)과 가장 긴 날(동지)을 알아내었다. 하늘로부터의 관찰과 기록은, 비단 자연 현상에 대한 관찰일뿐만 아니라 정치, 종교, 농경, 유목 등 현실적 응용으로 이어질 수 있었다.

2020년 노벨 물리학상은 블랙홀에 관한 연구에 수여되었다. 그 중 이론적인 측면에 공헌한 펜로즈 및 당시의 상대론자들은, 1960년대 시작된 중력 이론의 르네상스 시대부터 다음과 같이 미래를 위한 두 가지 중요한 일을 했다.

(1) 새로운 수학적 분석법을 만들어 복잡한 계산을 단순화시켰다.
(2) 수학적으로 미묘한 것들에 얽매이기보다는 이론에서 예측하는 물리적으로 관측 또는 탐지 가능한 결과에 초점을 맞추는 것이 중요함을 파악했다. 이러한 발전은 일반상대성이론을 주류 물리학 분야로 되돌리는 데 도움이 되었다.2)

본 글을 작성하며, 전체적인 면에서 와인버그,3) 오하니언과 루피니,4) 카포치엘로와 파라오니,5) 이철훈 교수6)의 책들을 참고하였다.

본 글에 이어지는 2장에서는 초기 중력 이론의 발전과 일반상대성이론을 구성하면서 본지 ‘양자 블랙홀의 최전선’에 기술된 내용과 상호보완적인 내용이 될 수 있도록 했다. 3장에서는 왜 수정 중력 이론을 고려해야 하는지 동기들을 밝히며, 마흐의 원리와 스칼라-텐서 이론인 브란스-디케 이론에 대해서 자세히 다루었고, 수정 중력 이론으로 확장 설명하였다. 또한 양자 중력 이론의 구축에 대한 동기와 우주론적, 중력장이 강한 영역에서 천체물리학적 동기에 대해 설명하였다. 4장 고차 곡률 보정 항을 가지는 중력 이론에서는 딜라토닉-아인슈타인-가우스-보네 중력 이론에 대해서 알아보고, 5장에서 맺음말로 정리하였다.

초기 중력 이론의 발전과 일반상대성이론

2019년 노벨 물리학상은, 우주의 구조와 역사를 밝힌 우주론의 이론적 발견의 공적에 절반, 태양과 같은 항성을 공전하는 외계 행성을 최초로 발견하여 우주 속 지구의 위치에 대한 우리의 관점을 변화시킨 공적에 절반이 주어졌다. 우리는 뉴턴의 거인 중 한 명이었던, 브루노(Giordano Bruno, 1548-1600)를 떠올릴 수 있을 것이다. 그는 수많은 태양계가 우주에 흩어져 있고, 각 태양계 속에는 우리 지구와 유사한 많은 지구가 존재하고 또한 그 지구들 위에는 생명체들이 살고 있다고 상상했다. 또한, 우주는 무한하고 중심이 없다고 주장하였다.7) 사형 선고를 받을 때 남긴 그의 발언은 대략 이렇다고 한다. “Perhaps you who pronounce my sentence are in greater fear than I who receive it.8) ”그의 머리에 떠올라 스쳐 지나갔을 파노라마에는 어떤 모습이 담겨 있었을까?

현대 물리학의 관점에서 자연의 상호작용을 기술하는 힘은 4가지로 알려져 있으며, 각각은 중력 상호작용, 전자기 상호작용, 약한 핵 상호작용, 강한 핵 상호작용이다. 여기서, 중력 상호작용은 물질과 에너지의 모든 종류에 보편적으로 작동된다는 측면에서 독특하다고 할 수 있을 것이다. 중력 상호작용은, 1687년 뉴턴이 저술한 ‘자연철학의 수학적 원리(Philosophiae Naturalis Principia Mathematica)’에 만유인력으로 기술되어 있다. 한 가지 살피고 넘어갈 부분은 뉴턴의 거인 중 한 명이었던 데카르트(René Descartes, 1596-1650)를 따르는 학문 후속들이 뉴턴의 저술을 읽고, 지속적인 논쟁을 해주었다는 점이다. 그들은 원격 작용에 대해서 끝까지 물고 늘어졌으며, 결국 뉴턴도 원격 작용의 원인을 밝히지 못했다. 이후, 뉴턴은 1713년 출판된 2판의 General Scholium에 “나는 가설을 설정하지 않는다.”라고 응수했다. 현대 물리학의 관점에서 중력 상호작용은 빛의 속도로 전달되며 이는 당시 뉴턴의 중력 이론으로 설명할 수 없는 부분이다. 뉴턴의 이론은 또한 삼체문제를 비롯한 다체문제의 일반해를 구할 수 없는 등의 문제가 있었다. 그럼에도 불구하고, 좋은 이론 체계가 가지고 있어야 할, 자연을 거의 정확히 묘사하고 예측하는 능력을 갖춘 탁월한 자연과학 이론 체계라 할 수 있었다. 일례로, 주요 행성의 위치에 대한 천체 역학의 예측은 수년의 시간 간격에 걸쳐 수 초 단위로 관측하는 것과 일치하며, 해왕성의 발견과 세레스의 재발견은 이론의 정확성을 증명하는 놀라운 성공 중 하나임에 틀림이 없었다.

1915년 11월 아인슈타인은 자연을 묘사하는 중력 상호작용에 대한 그의 새로운 이론 체계인 일반상대성이론을 발표했다. 일반상대성이론은 거시적 수준에서 공간, 시간, 중력 및 물질에 대한 포괄적이고 일관된 설명을 제공했고, 공간과 시간이 고전 역학의 절대적 실체가 아니라 물질의 에너지 분포와 운동과 함께 결정되는 동적 양이라는 방식으로 공식화되었다. 아인슈타인이 일반상대성이론을 구축하며 견지한 전략은 대략 다음과 같이 요약될 수 있다.

(1) 등가 원리를 자연에 내재된 법칙으로 받아들인다.
(2) 시간과 공간을 동등하게 다루는 일반 공변성(general covariance)으로 표현되는 상대성 원리를 받아들이고, 이론에 나타나는 상수들(광속 c와 뉴턴 상수 G)은 바뀌지 않는 것을 포함한, 일반 불변성(general invariance)을 토대로 한다.
(3) 중력이 아주 약한 곳에서는 뉴턴의 중력 이론으로 근사적으로 접근하고, 그 유효성을 검증한다.
(4) 리만 기하학을 수학적 방법론으로 채용하여 중력 상호작용을 시공간의 곡률로 기술한다.

마흐(Ernst Mach, 1838-1916)의 영향을 받은 아인슈타인9)은 일반상대성 이론을 구축하며 국소 관성 기준계와 국소적으로 정의되는 양들을 중요하게 생각하였다. 리만 기하학으로 기술되는 휘어진 시공간 위에서 국소 기준계들의 변환은 텐서로 기술되며, 이런 좌표 변환에 대해 휘어진 시공간의 간격(interval)은 불변량으로 유지된다.

등가 원리를 설명하기 위해 먼저 자유낙하하는 계에서 관측자의 관점을 설명해 보자. 시공간의 한 점에 대해 자유낙하하는 계의 관측자는 그 점 주위 충분히 작은 영역에서 중력장이 거의 균일하게 작용하는 것으로 볼 수 있고, 그 작은 영역 안에서는 위치에 따른 중력의 크기 차이가 거의 없어서 자유낙하에 따른 완전한 무중력 상태가 된다. 따라서 시공간 어느 한 점에 대해 국소 관성계가 존재하며, 그 계에 있는 관측자에게 그 점 주위의 아주 작은 영역에서 자연법칙들은 중력장이 없을 때의 관성계에서 기술되는 것과 똑같은 꼴로 기술된다.

아인슈타인의 중력장 방정식을 보면 시공간 기하는 물질-에너지의 분포와 관련된다는 면에서 마흐의 원리를 반영하는 듯이 보인다. 그러나 장방정식은 국소 관성계에서 중력 결합의 절대성을 의미하는 뉴턴의 중력 상수 G를 포함하고 있으며, 괴델의 우주 해 등 마흐의 원리를 따르지 않는 부분도 있다. 이렇듯, 일반상대성이론은, 뉴턴의 중력 이론이 무한한 절대 공간에서 이해하기 어려운 원격 작용에 의해 전달되는 힘이 아니라, 중력은 휘어진 시공간에서 국소 작용으로 해석될 수 있다는 완전히 새로운 패러다임을 제시한 것이다.

2020년 노벨 물리학상은 아인슈타인의 일반상대성이론 연구를 위해 독창적인 수학적 방법을 발전시켜 블랙홀을 연구하여 중력수축에 의한 시공간의 특이점 생성을 밝힌 공적에 절반, 보이지 않는 엄청난 중량의 블랙홀이 은하계 중심부 근처에 위치한 별들의 궤도를 지배한다는 사실을 발견한 공적에 절반 등 일반상대성이론이 예측하는 블랙홀 주제에 주어졌다. 또한 일반상대성이론이 예측하는 표준 우주 모형도 초기 우주에 빅뱅 특이점이 있다는 것을 예측한다. 중력수축에 의한 시공간의 특이점 생성, 우주 초기의 빅뱅 특이점은 일반상대성이론 체계가 붕괴하는 곳이다. 중력 이론 체계인 일반상대성이론은 그 이론에서 예측하는 해(solution) 안에, 그 이론이 붕괴하는 곳을 담아 스스로 완전한 이론 체계가 아니라고 말해주고 있다.

물론, 일반상대성이론은 자연의 모습을 거의 정확히 묘사하며 예측한다. 아인슈타인은 일반상대성이론을 검증할 세 가지의 예를 제시했었다.10)

(1) 강한 중력장에서 빛의 굴절
(2) 수성의 근일점 이동
(3) 중력장에 의한 빛의 적색 편이

‘강한 중력장에서 빛의 굴절’은 1919년 에딩턴(Arthur Stanley Eddington, 1882-1944)과 다이슨(Frank Watson Dyson, 1868 –1939)의 노력으로 태양의 개기일식 때 태양 근처를 통과하는 별빛의 위치가 관측됨으로써 관측 천문학의 쾌거이며 일반상대성이론의 검증이 될 수 있었다. 이 일로 그해 런던의 “The Times”와 “The New York Times”에 대서특필되며 아인슈타인은 대중적으로 유명한 스타가 되었다. ‘수성의 근일점 이동’은, 뉴턴의 중력 이론으로 설명이 되지 않았던 100년 동안의 수성의 근일점 이동에 43초의 오차는, 일반상대성이론의 적용으로 오차범위 내에서 설명될 수 있었다. ‘중력장에 의한 빛의 적색 편이’는 아인슈타인 사후 가장 늦게 검증되었다. 파운드(Robert V. Pound)와 레브카 2세(Glen A. Rebka, Jr.)는 빛이 중력장을 통과할 때 진동수나 파장이 바뀌는 것을 측정한, 중력장 내에서 빛의 적색 편이라고 알려진 예측에 대한 실험을 설명하였을 뿐만 아니라,11) 이후 정밀한 실험에서 사용하게 될 기술을 보여주었다.

이렇듯, 일반상대성이론은 새로운 중력 이론으로써, 자연을 더 정확히 묘사하고 예측할 수 있었다. 또한 이론적인 측면에서, 비록 통일장이론으로의 체계는 아닐지라도, 일반상대성이론은 다양한 이론들에서 나타나는 물리적 특성이 기여하는 바를 추가해나갈 수 있는 플랫폼을 제공했다. 예를 들어, 우주상수, 맥스웰 장, 스칼라 장 등이 기여하는 바를 언제든지 최소 결합 또는 비최소 결합의 형태로 일반상대성이론에 더해(또는 곱해) 나갈 수 있다. 이러한 기여를 고려하여 발전한 우주론 분야는 빅뱅 우주론(Big Bang Cosmology)을 넘어 정밀 우주론(Precision Cosmology)12)의 시대로 넘어섰다고 볼 수 있을 것이다. 또한 위성항법장치인 GPS에 (특수+일반) 상대론적인 보정을 해주지 않는다면 대략 하루 12 km 정도의 위치 측정 오차가 발생하게 된다. 즉, 일반상대성이론은 이미 실생활에서도 유용하게 적용되고 있다.

다음 장에서 이론적인 부분과 관측적인 부분에서 일반상대성이론의 부족한 부분을 살펴보며 수정 중력 이론의 발전에 대해서 알아보도록 하자.

수정 중력 이론의 발전

위에서도 언급했듯이, 일반상대성이론이 예측하는 블랙홀 내부의 특이점은 그 지점에서 이론이 붕괴하므로, 이 이론이 완벽한 이론이라고 볼 수 없음을 보여준다. 또한 우주론에서 나타나는 빅뱅 특이점 역시 이 이론이 완벽한 이론이 아님을 보여준다. 일반상대성이론은 암흑 물질과 암흑 에너지 등의 문제를 명쾌히 설명하지 못하고 있으며, 우주론과 중력장이 강한 영역에서 정확한 이론인지 불분명하다. 우리가 왜 수정 중력 이론을 고려해야 하는지에 대한 동기들은 다음과 같다. 

(1) 마흐의 원리를 반영하는 중력 이론으로의 동기
(2) 양자 중력 이론의 구축에 대한 동기
(3) 우주론적, 중력장이 강한 영역에서 천체물리학적 동기

[그림 1]은 일반상대성이론의 가능한 확장을 요약한 수정 중력 이론으로 가는 로드맵13)을 보여주고 있다. 본 글은 일반상대성이론⟶장의 추가⟶스칼라 장⟶호른데스키⟶가우스-보네의 방향을 따르고 있다.

Fig. 1. Modified gravity roadmap.

1. 마흐의 원리를 반영하는 중력 이론14)(스칼라-텐서 이론)

잘 알려졌듯이 마흐는 관성이란 무엇이고, 관성력의 근원은 무엇으로부터 생겨날까에 대한 답을 찾으려는 것으로부터 출발하여 뉴턴의 운동 법칙을 비판하였다.9) 마흐의 생각에 따르면, 국소 관성계는 멀리 떨어진 우주에 존재하는 모든 물질의 평균, 또는 평균 운동에 의해 결정된다. 현대 중력 이론의 관점에서 보면, 이런 이유로 시공간 한 점에서의 중력 결합을 나타내는 뉴턴 상수 G는 절대적인 상수가 아니라 전 우주의 물질 분포에 의해 결정되며, 시공간 위치의 함수인 스칼라 장이 되어야 한다. 즉, 우주론적인 물질의 분포가 국소 중력에 영향을 미치게 된다. 이로 인하여, 관성의 개념과 등가 원리가 다시 고려되어야 하는 근본적인 문제가 생기게 된다.

브란스와 디케의 중력 이론은 ‘Mach’s principle and a relativistic theory of gravitation’라는 제목으로 출판되었으며,15) 일반상대성이론에 대한 진지한 도전이자 구체화된 중력의 수정이론이었다. 디케는 그의 이론을 일반상대성이론을 대체할 만한 이론으로 발전시킴과 동시에 실험을 통하여 그 진위를 알아보려고 하였다. 그는 아무리 좋은 이론이라도 궁극적으로는 실험으로 검증받아야 한다고 믿었다. 이것이 중력에 대한 스칼라-텐서 이론의 시작이다. 우주가 시간이 지나면서 진화함에 따라 공간의 주어진 점에서 스칼라 함수의 값이 시간에 의존하므로 G 값도 시간에 따라 변하게 된다.16)17) 이 이론에서 스칼라 장은 시공간의 곡률과 비최소적으로 결합되어 있다. 

브란스-디케 이론은 마흐의 생각을 잘 반영하였지만, 그 대가로서, 시공간 곡률과 스칼라 장과의 비교 우위를 나타내는 오메가(ω)라는 정해지지 않은 상수를 도입해야만 했다. 이 이론과 일반상대성이론의 편차는 태양계에서 수행된 실험에 의해 작게 만들어졌으며, 즉 40000 이상의 오메가 값만을 허용했으며,18) 이는 이 이론의 입지를 좁게 만들어버렸다. 그러나, 이론적인 측면에서, 초끈 이론에 동기를 둔 부분과 우주론적인 큰 규모의 적용은 이와 같은 종류의 이론을 다시 한번 시험대에 올렸다. 

아인슈타인 장방정식의 관점에서 마흐의 원리를 따르는 부분은, 시공간 기하는 물질의 에너지-운동량 텐서에 의해 결정된다는 것이다. 여기서 조심할 부분은 시공간 기하는 리만 텐서에 의해 완전히 기술되며, 리치 텐서의 정보를 반영하는 에너지-운동량 텐서에 의해 완전히 결정되지 않는다. 운동 방정식의 관점에서, 경계가 없는 닫힌 우주를 제외한다면, 특정한 해는 경계 조건을 필요로 하며, 경계 조건으로서 초기조건이 주어졌을 때 유일한 해가 결정된다. 또는 바일 텐서(Weyl tensor)를 조사해야 한다고도 말할 수 있을 것이다. 훨러(John Archibald Wheeler, 1911–2008)는 마흐의 아이디어가 오늘날의 중력 이론에 대해 관련성이 있는 것으로 간주 되려면 더 수학적으로 잘 정의된 표현이 요구된다고 보았다.19) 

일반상대성이론과 비교했을 때, 프레임에 대한 문제가 있을 수 있고, 이를 간단히 살펴보도록 하자. 요르단 프레임(Jordan frame)과 아인슈타인 프레임(Einstein frame)이 있고, 두 프레임 간 이동이 가능하다고 보자. 문제는 두 프레임 간 물질의 동역학이나, 진공 상태가 바뀔 수 있다는 것이다. 빛인 광자의 세계선은 두 프레임 모두에서 측지선(geodesic)인데 반해 질량이 있는 물질의 세계선은 한 프레임에서 측지선이면, 다른 프레임에서는 아니다.20) 이는 일반상대성이론에서 물질의 정지 질량이 브란스-디케 이론에서는 스칼라 장과의 상호작용에 의해 영향을 받아 상수가 아니며, 물질의 운동 방정식이 추가적인 항에 의해 변형이 되기 때문이다.21) 또한 두 진공 에너지 상태에서 한 프레임에서 낮은 진공 에너지 상태인 것이 다른 프레임에서 높은 진공 에너지 상태가 될 수도 있다(이 부분에 대해서 추가 논의가 필요하다).22) 라그랑지안에서 리치 스칼라에 비최소로 스칼라 장이 결합된 스칼라-텐서 이론에서는 일반적으로 이와 같은 성질이 있게 된다. 우리 자연은 아인슈타인 프레임에서 묘사되는가 요르단 프레임에서 묘사되는가? 라는 질문을 남겨둔다.

2. 양자 중력 이론의 구축에 대한 동기

현대 물리학의 주요 과제 중 하나는 자연의 근본적인 상호작용을 동일한 이론으로 기술하는 것이다. 폭을 좁혀 논하자면, 중력 이론과 양자론을 통합적으로 기술하여 자연을 정확히 묘사하고 예측하는 것이다. 이러한 통합은 아직은 요원한 일로 보이며, 중력 이론의 관점에서 어떤 성질이 있는지 살펴보도록 하고, 중력을 양자화하려는 시도로 어떤 방법들이 있었는지 간략히 살펴보도록 한다.

중력 이론의 관점에서 성질

(1) 중력 이론(일반상대성이론)은 시공간 연속체를 다루고 있다.
(2) 시간은 공간과 동등하게 공변적(covariant)으로 취급된다.
(3) 일반상대성이론이 예측하는 블랙홀 내부의 특이점과 우주 초기의 빅뱅 특이점은 그 지점에서 중력 이론이 붕괴하므로, 이 이론이 완벽한 이론이라고 볼 수 없음을 시사한다.
(4) 중력 이론은 시공간과 시공간 위의 물질을 동시에 동역학적으로 묘사하고 있다.
(5) 낮은 에너지 극한에서 일반상대성이론이 재현되어야 한다.

2020년 노벨 물리학상을 받은 펜로즈의 특이점 정리(singularity theorem)는 적당한 가정을 가지고 정립되었다.23) 일반상대성이론에서 표준 입자 모형을 만족하는 물질을 가정한다면, 블랙홀 안쪽 중심에 특이점이 생긴다는 결론을 피할 수 없을 것이다. 그런데, 수학적일지라도, 가정 중 하나라도 위배되면, 특이점 정리를 피해갈 수 있다. 이는 고전적으로 적어도 블랙홀의 중심부에서 에너지 조건(null-energy condition)을 위배하는 방식이 될 것이다. 여기서, 한 걸음 더 나아가 블랙홀 사건의 지평선 안쪽에 웜홀(traversible wormhole)을 고려할 수도 있을 것이다. 수정 중력 이론에서 수정된 기여로 인해 이런 효과가 자연스럽게 나타날 수도 있을 것이다. 물론 양자 중력 이론에서 특이점의 회피가 가능할 수 있을 것으로 생각된다. 균질하고 등방적(homogeneous and isotropic)인 우주 초기의 빅뱅 특이점도 마찬가지다.24) 

중력을 양자화하려는 시도들은 아래와 같다.

(1) 정준적 접근 방식(Canonical approaches)
(2) 공변적 접근 방식(Covariant approaches)
(3) 경로적분 방식(Path-integral approaches)

정준적인 접근 방식은 일반상대성이론의 해밀토니안 공식화(Hamiltonian formulation)를 기반으로 하며 정준 양자화 절차를 사용하는 것을 목표로 한다. 절차상으로는 시공간이 일정한 시간 진화를 따르는 공간의 초공간 족으로 분리된다. 이 3차원 공간은 인과성의 개념을 보존하기 위해 고정된다. 점근적으로 평편한 시공간의 영역에서 해밀토니안 연산자는 시간 병진 대칭 발생자로서 역할을 한다. 이것은 구속 조건의 존재로 이어지고, 이론의 불변량들과 연결된다. 고전적으로 시공간 병진 이동 대칭에 관련된 4개의 국소 구속 조건이 있다. 하나는 해밀토니안 구속 조건이고, 3개는 운동량 구속 조건이다. 만약 계량(metric) 대신 테트라드를 사용한다면, 국소 로렌츠 변화를 수행하는 자유도와 관련된 4개의 추가적인 구속 조건이 존재하게 된다. 고전적으로 구속 조건들은 닫힌 대수를 만족한다. 양자화에 의해, 구속 조건들은 물리적으로 허용되는 파동 함수들에 대한 양자 구속 조건들로 바뀌게 된다. 정확한 형태는 정준 변수들의 선택에 의존한다. 양자 기하동력학(quantum geometrodynamics)에서는 3-차원 계량이 구성 변수(configuration variable)로 사용되고,25) 고리 양자 중력 이론(loop quantum gravity)에서는 홀로노미가 구성 변수로 사용된다.26) 정준적인 접근 방식은 섭동 방법을 도입할 필요 없이, 일반상대성이론의 기하적인 특징을 보존한다.

공변적 접근 방식은 양자 장이론 개념과 방법을 사용한다. 기본 아이디어는 계량을 일반적으로 평편한(운동학적 부분) 계량과 작은 섭동(동역학적 부분)을 주는 계량으로 나눈다. 배경 기하는 평편한 계량으로 주어져서, 보통의 양자 장이론의 배경과 같으며, 인과성, 시간 및 산란의 개념을 정의할 수 있다. 그런 다음 양자화 절차는 민코프스키 배경 계량에서 작은 섭동으로 고려된 계량인 동역학적 장에 적용된다. 양자는 스핀이 2인 중력자(graviton)로 섭동 계량에 의해 정의되며, 시공간으로 전파해 나간다. 그다음은 중력의 재규격화 가능성을 확인하는 순서가 될 것이다. 잘 알려졌듯이 중력은 재규격화가 가능하지 않다. 이에 대한 글로 본지 ‘양자 블랙홀의 최전선’에 기술된 내용을 참조하기 바란다. 

경로적분 방식의 양자화에서는 양자 진폭을 계산하기 위해 양자 역학적으로 가능한 모든 궤적에 대해 합을 하는 방식으로, 유일한 궤적의 고전적 개념을 대체한다. 이런 방식으로 중력에서는 4차원 다양체 위에서 시공간 병진 대칭에 의해 할당된 가능한 계량들을 모두 합하여 경로적분을 통해, 분배함수(partition function)를 얻는다. 또한 모든 가능한 위상(topology)에 대한 합을 원하겠지만, 4차원 다양체에서 위상 분류가 완전하게 가능하지 않기 때문에, 일반적으로 모든 합을 할 수 없다. 적분 측도(integration measure)의 취급에 따르는 어려움으로, 이를 잘 정의하기 위해 게이지 이론으로부터 알려진 Faddeev-Popov 방법27)을 적용해야 한다.

초끈 이론은 위의 접근 방식과 근본적으로 다르다. 일반상대성이론이나 다른 고전적인 중력의 직접적인 양자화가 아니라, 모든 상호작용에 대한 통합된 양자 이론의 예가 된다. 여기서 중력과 다른 알려진 상호작용은 적절한 한계에서만 나타난다. 끈들은 소위 매개 변수 알파 프라임으로 특징지어지는 1차원 물체이다. 시공간에서 끈은 2차원 표면인 세계 면(worldsheet)을 형성한다. 또한 이 이론에 끈만큼 중요한 D-brane이라고 불리는 고차원 물체도 존재한다.28) 초끈 이론에서 중력자는 닫힌 끈의 여기로 나타나므로 필연적으로 중력을 포함한다. 이러한 면을 통해 공변적 접근 방식의 양자 중력에 대한 연결이 이루어질 수 있다. 우리는 이형적 끈(heterotic string) 이론의 낮은 에너지 유효 액션의 1차 보정에서 나타나는 가우스-보네 항과 비최소로 결합된 딜라톤 장을 가지는 이론29)에 관심이 있다. 이 액션이 주는 중력 이론은 일종의 스칼라-텐서 중력 이론이 되며, 여기서 매개 변수 알파 프라임의 부호는 +이다. 우리가 양자 중력 이론에 이르는 명확한 가이드라인 없이 양자 중력 이론을 추구하며, 아직 요원한 일일 수 있지만, 지속적인 탐구는 결국 완전한 양자 중력 이론에 다다를 수 있는 길이라는 희망을 갖는다.

3. 우주론적, 중력장이 강한 영역에서 천체물리학적 동기

현재 태양계의 실험에서 수정 중력 이론 또는 스칼라-텐서 중력 이론과 일반상대성이론의 편차는 극히 작기 때문에, 미미할 정도의 효과를 가지며, 이를 관측한다는 것은 아주 요원한 일일 것이다. 결국 스칼라 장의 진화를 위한 자연적인 시간 척도가, 그리고 그 범위가 우주적이므로 일반상대성이론과의 편차는 우주론의 맥락에서 나타나게 될 것으로 기대된다. 더욱이 오늘날 가속 팽창을 유발하는 우주 에너지의 약 70%가 암흑 에너지 형태라는 놀라운 발견은 이를 설명하는 스칼라-텐서 이론에 관한 관심을 불러일으키고 있다.

공간 자체의 에너지로 우주상수(cosmological constant)를 도입하면 가장 간단한 방식으로 암흑 에너지를 잘 설명할 수 있다.30) 그리고 천체물리학적 데이터에 이 상수의 도입이 가장 적합할 수 있다.31) 그렇지만 ΛCDM 모델은 입자 물리학에 의해 예측된 진공 에너지 밀도의 값과 비교하여 암흑 에너지 밀도로 관측된 값이 왜 10¹²²배 차이로 작은지, 그리고 우주 일치 문제(cosmic coincidence problem)로 알려진 가까운 과거(z=0.55)에 암흑 에너지의 밀도 값이 왜 전체 물질의 밀도 값과 거의 같았는지 설명하지 못한다. 

해결책으로써, 우주상수를 퍼텐셜 V의 평평한 부분을 천천히 아래로 굴러 내려가는 스칼라 장으로 대체하여 퀸테센스라고 알려진 모델을 만들기도 했다.32) 많은 모델로 데이터를 맞추는 데 성공했지만, 암흑 에너지에 대한 퀸테센스 접근 방식은 여전히 어려움을 겪고 있다.33) 

한편, 2015년 9월 두 개의 블랙홀로 이루어진 쌍성이 충돌 직전 방출한 것으로 판명된 중력파가 검출 관측되었다. 이 관측은 그동안 볼 수 없었던 영역의 새로운 창을 열어준 것으로 판단될 수 있으며, 우리는 중력장이 강한 곳에서 일어난 사건을 역추적할 수 있는 창을 갖게 되었다.34) 

전자기파는 대전된 입자가 가속운동을 할 때 발생되고, 중력파 또한 일반상대성이론에서 물체가 가속운동을 할 때 발생된다. 이때 각운동량이 보존되지 않으며, 에너지와 함께 방출된다. 중력파도 파동이므로 다음의 성질들로 특징지어질 수 있다.

(1) 진폭과 진동수
(2) 편광 모드
(3) 전파속도

수정 중력 이론에서는 이러한 특징들이 변할 수 있고, 본 글에서는 편광 모드에 국한하여 짧게 기술하려고 한다. [그림 2]는 6개의 가능한 중력파 편광 모드를 보여주고 있다. 테스트 질량의 원은 시간의 함수로 z 방향으로 전파되는 각 편광에 대해 다르게 왜곡된다. 일반상대성이론에는 + 및 × 두 개의 텐서 편광 모드만 존재한다. 수정 중력 이론에는 추가로 가로 스칼라 모드(Scalar T), 세로 스칼라 모드(Scalar L) 및 두 개의 벡터 모드(Vector 1, 2)가 포함될 수 있다. 스칼라-텐서 이론에서는 (c) 모드 또한 존재할 수 있다.35)36)37)

우리가 미래에 스칼라 모드를 검출할 수 있을까? 라는 질문을 남겨둔다.

Fig. 2. Six polarization modes for GWs.

4. 고차 곡률 보정 항을 가지는 중력 이론

스칼라-텐서 중력 이론은 일반상대성이론과 비교해 단일 스칼라 장을 추가 자유도로 넣었다는 점에서 가장 간단하게 수정된 것이다. 4차원에서 가장 일반적인 스칼라-텐서 이론이면서 차수가 2차인 운동 방정식을 가지는 이론은 Horndeski 이론이다.38) Ostrogradski에 의하면 2차의 운동 방정식을 가진 이론을 구축한다는 의미는 고스트 상태를 만들지 않는다는 것이다.39) 이 중 또한 가장 간단한 형태는 특정한 형태의 곡률 제곱 항들의 조합인 가우스-보네(Gauss-Bonnet) 항을 추가하여 아인슈타인-가우스-보네 중력 이론(Einstein Gauss-Bonnet theory)을 만드는 것이다. 4차원 시공간에서 가우스-보네 항은 동역학에 영향을 주지 않는 위상 불변이 된다. 아인슈타인-가우스-보네 이론은 운동 방정식에 2보다 높은 차수의 도함수가 나타나지 않는다는 점에서 아인슈타인 이론의 가장 단순하고 자연스러운 확장이 된다. 운동 방정식에 가우스-보네 항의 기여도를 도입하기 위해 스칼라(딜라톤) 장과 비최소로 결합한 항을 고려하면, 딜라토닉-아인슈타인-가우스-보네 중력 이론(이 하 dEGB 이론)가 된다. 아인슈타인 프레임에서 이 액션은 아인슈타인-힐버트 액션에 가우스-보네 항과 비최소로 결합된 딜라톤 장을 더한 일종의 스칼라-텐서 중력 이론이 된다.

초끈 이론의 맥락에서는, 아인슈타인 프레임에서 이형적 끈(heterotic string) 이론의 낮은 에너지 유효 액션의 1차 보정에서 나타나는 항과 일치한다.40) 이는 Plank 스케일의 초기 우주를 고려하면, 시공간 곡률의 효과는 초기 우주가 양자 중력 영역에 있을 때 중요해지므로 이러한 고차 곡률 항을 도입하는 것은 자연스러운 선택이 될 수 있을 것이다. 또한 이는 우주 초기의 빅뱅 특이점을 피할 기회를 제공한다.41) 

dEGB 수정 중력 이론에서 해석적인 블랙홀 해를 찾는 것은 가능하지 않으리라고 예측되며, 수치계산에 의해 구축되었다.42) 이 해가 블랙홀 사건 지평선 밖으로 분포하는 스칼라 장을 갖는다는 성질은 블랙홀 무모 정리(black hole no-hair theorem)와 관련하여 많은 논의가 되어오고 있다. 정리(theorem)는 가정들(assumptions)을 만족하는 체계이고, 어떤 가정들을 만족하는지 살펴봐야 한다. 또한 이 가정들은 언제든지 위배될 수 있고, 이로 인해 정리가 적용되지 않을 수 있다는 것은 자명하다. 수정 중력 이론 또는 일반상대성이론에서 허용하는 블랙홀 해에서 무모 정리가 적용되지 않는 해가 많이 발견되었고, 그러한 해들을 연구하는 목적 중 하나는 표준입자 모형으로 설명되지 않으며 자연에 존재하는 암흑 물질과 공존하는 블랙홀을 위시하여 암흑 물질을 설명하기 위해서이다.43) 

블랙홀과 열역학 사이의 유사성(analogy)을 갖는 연구44)는, 고정된 블랙홀 배경 공간에서 양자 이론을 근사적으로 적용하며, 양자 중력 이론을 탐구하는 방법으로 많은 연구가 되어 오고 있다. 특별히 dEGB 이론에서 가우스-보네 항에 의한 시공간의 위상(topology) 정보는 블랙홀 엔트로피에 추가적인 상수항으로 나타나며, 이는 질량이 큰 단일 블랙홀과 2개의 질량으로 나뉜 블랙홀이 생성될 때, 엔트로피 관점에서, 어느 쪽이 선호될지에 관한 질문에서, 일반상대성이론과 다른 특성을 보여준다. dEGB에서는 2개의 질량으로 나뉜 블랙홀이 엔트로피 관점에서 선호될 수 있다.45) 음의 부호 우주상수를 가지는 안티-드지터 시공간에서 블랙홀 해는 또한 재미있는 성질을 보여준다. 블랙홀 열역학에서 국소 안정성(local stability)은 비열(또는 열용량)의 부호에 의해 결정되며, 대역적 안정성(global stability)은 안티-드지터 시공간의 블랙홀 시스템(black hole in anti-de Sitter; 이하 BH in AdS)과 무시할 정도의 열 입자들을 가진 안티-드지터 시공간(thermal anti-de Sitter; 이하 AdS) 시스템의 자유에너지(Helmholtz free energy) 차이의 부호에 의해 결정된다.46) 일반상대성이론에서는 아래의 표로 정리될 수 있을 것이다.

일반상대성이론에는 국소적으로 불안정하고, 대역적으로 BH in AdS가 선호되는 채널이 없다. 수정 중력 이론에서 이 채널을 찾으면, 흥미로울 것이다. 이 채널의 존재는 dEGB 이론에서 블랙홀의 사건 지평선 반지름이 작을 때, 즉 작은 블랙홀에서 찾아졌다. 또한 블랙홀 위상의 정보가 쓸모있는(또는 없는) 자유에너지로 추가될 수 있다는 성질이 분석되었다.47) 

맺음말

우리는 고전적으로도 ‘정확한’ 중력 이론이 무엇인지에 대한 확실한 결론에 도달하지 못했다. 지금까지 공식화된 거의 모든 이론 또한 결국 틀린 것으로 판명될 가능성이 있으며, 많은 면에서 부족한 것으로 알려져 있다. 지금까지 개발된 이론과 현재 개발 중인 이론을 비교 검토하며 받아들이고, 아인슈타인의 중력 이론과 어떻게 다른지 배우는 것이 중요할 것이다. 최근 관심의 많은 부분은 Ia형 초신성 관찰과 같은 새로운 실험 데이터에 의해 동기가 부여되었으며 많은 추측이 관측 결과에 따라 단순히 배제될 수 있다는 것을 잊지 말아야 한다.

우리는 아인슈타인의 중력 이론을 공부하며 연구하면서도 배우지만, 그와는 다른 방식으로, 비판하고 한계를 지적하며, 대안적인 수정중력 이론을 만들면서 다른 시각에서 일반상대성이론을 더욱 깊게 배우며 연구하게 된다. 즉, '이러한 약점이 있다', '이런 부분이 빠져있다'라고 지적하면서 일반상대성이론을 더욱더 깊게 배우고, 연구하게 된다. 물론 모든 이론은 자연을 정확히 묘사하고 예측할 수 있어야 한다는 시험을 거쳐야 한다. 우리가 표준 입자 모형과 일반상대성이론으로 암흑 물질과 암흑 에너지를 포함한 우리 우주를 명쾌히 설명하지 못하고 있다는 사실 또한 잊지 말아야 한다.48) 그런 면에서 우리는 열린 마음을 갖고 가능한 모든 것을 조사하고 연구해야 한다.