Spin and Orbital Hall Effect: Semiclassical Approach

Minkyu PARK and Sung-Hyon RHIM

Spintronics is a research field that utilizes the electronic-spin degree of freedom beyond electronics that uses the charge of electrons. Recently, an attempt was made to extend this to include the orbital angular momentum of electrons, and that is called orbitronics or spin-orbitronics. In this article, we review the semiclassical dynamics of a wave packet that describes electrons in solids under slowly varying electromagnetic fields. This will be used to explain the spin or orbital Hall effect, which is a fundamental phenomenon in spin-orbitronics. The presentation given here is simplified and its goal is to provide a warm-up for articles in this issue of Physics and High Technology.

스핀-오비트로닉스

스핀트로닉스(spintronics)란 전자의 전하(charge)를 이용한 전자 공학(electronics)에서 더 나아가 전자의 스핀(spin) 자유도를 이용해서 정보를 저장하고 처리하는 것을 연구하는 분야이다. 최근에는 전자가 가지는 궤도 각운동량(orbital angular momentum)의 자유도까지 이용하려는 시도가 있고, 이를 오비트로닉스(orbitronics) 혹은 스핀-오비트로닉스(spin-orbitronics)로 부른다. 양자역학의 관점에서 보면 전자는 전하와 스핀뿐만 아니라 공간적인 퍼짐을 가진 파동 함수로 나타내지기 때문에, 어쩌면 스핀-오비트로닉스로 확장되는 건 자연스러운 일인지도 모르겠다.

오비탈류(orbital current) 또는 오비탈 홀 효과(orbital Hall effect)는 2005년 스탠포드 대학의 B. A. Bernevig, T. L. Hughes, S. C. Zhang이 처음 제안한1) 이후 일본 나고야 대학의 H. Kontani 교수가 전이 금속(transition metal)의 오비탈 홀 효과에 대한 연구 결과를 발표하면서 학계의 주목을 받았다.2) 이후 잊혀진 듯 하다가, 포항공대 이현우 교수 그룹의 고동욱 박사가 학위 과정 동안 연구한 것을 발표하면서 다시 주목을 받기 시작했다고 말해도 될 것이다. 기존의 스핀 홀 효과(spin Hall effect)를 설명하는 이론으로는 설명하기 힘든 실험 결과들이 발표되면서 그것들이 오비탈 홀 효과와 관련된 것으로 추측되고 있지만, 아직 결정적인 증거를 보여주는 실험 결과는 없는 상황이다. 따라서, 아직 태동기에 있는 연구 주제인 만큼 전자 소자 개발이라는 응용적인 측면뿐만 아니라 물리학적으로도 흥미로운 주제임이 분명하다. 본 편은 이러한 오비탈류에 대한 배경 빛 개괄적 소개를 목적으로 하고, 자세한 내용은 본 특집의 다른 글들에서 다루도록 하겠다.

일반적으로 전자를 나타내는 파동 함수는 위치와 스핀, 두 종류의 벡터 공간 위에서 정의되며, 파울리(Pauli)의 배타 원리를 따르기 때문에 스핀 부분이 단일항(singlet)/삼중항(triplet) 상태라면 궤도 부분은 \(\small l\) = 0,2,.../\(\small l\) = 1,3,...인 상태로 나타내지는 등 서로 완전히 독립적이지 않다. 한편 고전적인 전자기학에서 전류는 점전하(point charge)의 움직임으로 정의되며, 전하 밀도 \(\small \rho\)와 속도 \(\small \pmb{v}\)를 이용하여 전류 밀도는 \(\small \pmb{J}=\rho\pmb{v}\)로 표현된다. 양자역학의 관점에서 보면, 파동 함수 \(\small \psi\)의 절대값의 제곱이 전자의 존재 확률을 나타내기 때문에, 전하 밀도를 \(\small \rho=q|{\psi}|^2\)처럼 쓸 수 있다. 따라서 전류 밀도는\(\small \pmb{J}=q|\psi|^2\pmb{v}\)가 된다. 이때, 수소 원자의 문제에서 파동 함수를 구면 조화 함수(spherical harmonics)로 나타낼 수 있었던 것처럼, 이 전류 밀도가 궤도 각운동량의 성분으로 표현될 수 있다면, 즉 구면 조화 함수로 전개될 수 있다면, \(\small \pmb{J}=\sum_{lm} \pmb{J}_{lm}Y^m_l\)처럼 궤도 각운동량의 성분을 갖는 전류 밀도를 정의할 수 있을 것이다. 이렇게 정의된 개별적인 \(\small \pmb{J}_{lm}\)을 실험으로 측정할 수 있다면, 오비탈류를 측정했다고 할 수 있을 것이다.

이렇게 각운동량으로 분해하는 접근법은 물리학 전반에서 많이 쓰이고 있다. 예를 들면 산란 이론(scattering theory)에서는 부분파 분해(partial wave decomposition)로 산란 중심에서 입사파가 산란될때, 각각의 \(\small l\) 성분이 주는 위상 변화(phase shift)를 고려한다. 그리고, 초전도 현상을 다루면서 쿠퍼쌍(Cooper pair)의 파동 함수 또는 대칭성을 논할 때, 총 스핀을 고려하면서 s파, p파 등의 용어에서 이미 쿠퍼쌍의 질량 중심을 원점으로 잡은 파동 함수의 각운동량이 \(\small l\) = 0,1인 것을 이미 고려하고 있다. 이외에도 궤도 각운동량이 주는 자기모멘트에 대한 연구는 광학3)4)과 전자 빔(electron beam)5)에서 굉장히 오랜 기간 연구가 되어 왔다. 광학에서의 연구 성과는 이 글을 준비하는 과정에서 알게 되었고, 향후 광학 분야에서의 보다 심도 있는 연구를 기대해본다.

다음 절에서는 전자를 나타내는 파동 묶음의 준고전 동역학에 대해서 설명한다. 그 후 단순한 상황을 가정하여 비정상 홀 효과와 스핀 홀 효과가 파동 묶음의 준고전 동역학으로 잘 설명될 수 있음을 알아본다. 이후 파동 묶음의 준고전 동역학을 오비탈 홀 효과에 어떻게 적용할 수 있을지 간략히 살펴보겠다.

파동 묶음의 준고전 동역학

고체 내 전자의 움직임을 기술하는 잘 알려진 방법 중 하나로 전자를 나타내는 파동 묶음(wave packet)의 중심 위치와 결정 운동량(crystal momentum)을 계(system)의 변수로 다루는 준고전적(semiclassical)인 방법이 있다.6) 이는 에렌페스트(Ehrenfest) 정리를 일반화한 것이라고 볼 수 있는데, 1990년대 중반부터 2000년대 중반까지의 많은 연구를 통해 베리 곡률(Berry curvature)을 포함하는 형태로 확장되었다.7)8)9)

일반적으로 파동 묶음은 다음과 같이 블로흐(Bloch) 상태 \(\small \left|\psi_{n\pmb{k}}\right>\)의 중첩(superposition)으로 나타낼 수 있다. 이때 파동 묶음은 충분히 국소화(localized)되어 있어 외부의 섭동(perturbation)을 균일하게 느낀다고 가정한다.

\begin{equation} \ket{\Psi(t)}=\sum_{n=1}^N\int d^3k\, a_n(\pmb{k},t)\ket{\psi_{n\pmb{k}}(\pmb{x}_\text{c},t)}. \tag{1}\end{equation}

여기서 \(\small N\)은 겹쳐 있는(degenerate) 띠의 개수를 나타낸다. 파동 묶음의 중심 위치와 중심 결정 운동량은 다음과 같이 정의된다.

\begin{equation} \pmb{x}_\text{c}=\braket{\Psi(t)|\pmb{x}|\Psi(t)}, \qquad \pmb{k}_\text{c}=\braket{\Psi(t)|\pmb{k}|\Psi(t)}. \tag{2}\end{equation}

또한 각 블로흐 상태가 파동 묶음에 어떻게 기여하는지를 나타내는 \(\small a_n(\pmb{k}, t)\)는 다음과 같이 쓰인다.

\begin{equation} \label{atoz} a_n(\pmb{k},t)=\sqrt{\rho(\pmb{k},t)}\, z_n(\pmb{k},t), \qquad \sum_{n=1}^N|z_n(\pmb{k},t)|^2=1. \tag{3} \end{equation}

이는 추후에 스핀 홀 효과에서 비가환 베리 곡률이 등장할 때 이용된다.

이제 논의의 간결성을 위해서 겹침이 존재하지 않는 계를 생각하자(\(\small N\)=1). 시간적으로나 공간적으로도 매우 천천히 변하는 전자기장이 존재할 때, 전자의 준고전 동역학은 다음 방정식을 따르는 것을 보일 수 있다.7)8)9)^a)

\begin{align} \dot{\pmb{x}}_\text{c} &= \frac{1}{\hbar}\frac{\partial\varepsilon_M}{\partial\pmb{k}_\text{c}}-\dot{\pmb{k}}_\text{c}\times\pmb{\Omega}(\pmb{k}_\text{c}), \tag{4} \\ \hbar\dot{\pmb{k}}_\text{c} &= -e\pmb{E}-e\dot{\pmb{x}}_\text{c}\times\pmb{B}. \tag{5} \end{align}

여기서 \(\small \varepsilon_M=\varepsilon_0(\pmb{x}_\text{c},\pmb{k}_\text{c})-\pmb{M}(\pmb{x}_\text{c},\pmb{k}_\text{c})\cdot\pmb{B}\)은 파동 묶음 중심의 에너지 \(\small \varepsilon_0(\pmb{x}_\text{c},\pmb{k}_\text{c})\)와 파동 묶음이 가지는 궤도 자기 모멘트 \(\small \pmb{M}(\pmb{x}_\text{c},\pmb{k}_\text{c})\) 때문에 생기는 에너지의 합으로 주어진다. 그리고 \(\small \pmb{\Omega}(\pmb{k}_\text{c})\)는 베리 곡률10)11)이다. 식 (4)와 (5)를 잘 살펴보면, 베리 곡률을 제외하고는 전자가 전자기장 하에서 따르는 고전적인 운동 방정식과 그 형태가 매우 유사함을 알 수 있다.

베리 곡률은 어떤 변수 공간 위에서 파동 함수를 단열(adiabatic) 변화시켰을 때 얻어지는 물리량인데, 사실 이름으로부터 알 수 있듯이 기하학적(geometrical)인 양이다. 이를 이해하기 위해, 변수 공간의 각 점마다 파동 함수를 생각하고 각 점 위의 파동 함수가 서로 다른 위상(phase)을 가지는 상황을 생각해보자. 이때 서로 다른 점 위의 파동 함수의 위상 사이의 관계를 나타내는 것이 바로 베리 연결(Berry connection)이고, 이를 미분한 양이 베리 곡률이 된다. 베리 연결과 베리 곡률을 벡터 포텐셜과 자기장으로 바꿔서 생각해도 괜찮다. 다만 이 경우 우리가 아는 형태의 맥스웰(Maxwell) 방정식을 만족하지 않아도 괜찮기 때문에, 변수 공간에 자기 홀극(magnetic monopole)이 존재할 수 있다.

베리 곡률을 변수 공간 내의 어떤 곡면 위에서 적분하게 되면 베리 위상(Berry phase)이라는 양을 얻게 된다. 혹은 경계(boundary)가 있는 곡면의 경우, 베리 접속을 그 경계를 따라 적분해서 베리 위상을 얻을 수도 있다. 베리 위상은 특별한 상황에서 양자화되며 위상학적(topologically)으로 보호되는 물리량이다. 이러한 이유로 베리 위상은, 베리 본인이 그랬듯이, 때때로 기하학적 위상(geometric phase)이라고 불리기도 한다. 관심있는 독자들은 베리의 해설12)을 읽어보는 것을 추천한다.

응집 물질 물리의 문제에서는 많은 경우 변수 공간으로 브릴루앙 영역(Brillouin zone)을 생각한다. 이때 베리 연결 \(\small \pmb{A}(\pmb{k})\)와 베리 곡률 \(\small \pmb{\Omega}(\pmb{k})\)는 블로흐 상태의 주기적인 부분 \(\small \ket{u_{n\pmb{k}}}\)를 이용해서 다음과 같이 쓸 수 있다.

\begin{equation} \pmb{A}(\pmb{k}) =i\braket{u_{n\pmb{k}}|\boldsymbol{\nabla}_{\pmb{k}}|u_{n\pmb{k}}}, \qquad \pmb{\Omega}(\pmb{k}) =\boldsymbol{\nabla}_{\pmb{k}}\times\pmb{A}(\pmb{k}). \tag{6}\end{equation}

이 베리 곡률을 파동 묶음의 중심의 위치에서 계산한 것이 바로 식 (4)에 등장하는 베리 곡률이다. 이렇게 베리 곡률이 전자의 준고전 동역학에 등장함으로써, 고체 내의 전자를 이해하는 데 띠구조(band structure)의 기하학적 더 나아가 위상학적 성질이 중요하게 작용할 수 있음을 다시 한 번 확인할 수 있다. 참고로 파동 묶음의 궤도 자기 모멘트 \(\small \pmb{M}(\pmb{x}_\text{c},\pmb{k}_\text{c})\)는 다음과 같이 정의된다.

\begin{equation} \pmb{M}(\pmb{x}_\text{c},\pmb{k}_\text{c}) = \frac{e}{\hbar}\mathrm{Im}\left[ \Braket{\boldsymbol{\nabla}_{\pmb{k}}u_{n\pmb{k}}|\times\big(\varepsilon_0(\pmb{k})-H_0(\pmb{k})\big)|\boldsymbol{\nabla}_{\pmb{k}}u_{n\pmb{k}}} \right]\bigr|_{\pmb{k}=\pmb{k}_\text{c}}. \tag{7}\end{equation}

여기서 \(\small H_0(\pmb{k})\)는 \(\small H_0(\pmb{k})\ket{u_{n\pmb{k}}}=\varepsilon_0(\pmb{k})\ket{u_{n\pmb{k}}}\)를 만족한다.

1. 비정상 홀 효과

위에서 설명한 전자의 준고전 동역학이 유용하게 쓰이는 한 가지 예를 보기 위해 비정상 홀 효과(anomalous Hall effect)를 생각하자. 비정상 홀 효과는 자성체에서 발생하는 홀 효과로 시간 반전 대칭성(time-reversal symmetry)이 깨지는 메커니즘이 외부 자기장이 아닌 자발 대칭 깨짐(spontaneous symmetry breaking)에 의존한다. 일반적으로 계에 흐르는 전류 밀도는

\begin{equation} \pmb{J}=-e\int_{\varepsilon_0(\pmb{k}_\text{c})\le\varepsilon_\text{F}}\frac{d^3k_\text{c}}{(2\pi)^3}\,\dot{\pmb{x}}_\text{c}(\pmb{k}_\text{c}) \tag{8} \end{equation}

로 주어지는데, 지금 자기장이 없기 때문에 식 (5)로부터 \(\small \hbar\dot{\pmb{k}}_\text{c}=-e\pmb{E}\)를 얻을 수 있고 식 (4)를 이용하면, 식 (8)은 다음과 같이 쓸 수 있다.

\begin{equation} \pmb{J}=-e\int_{\varepsilon_0(\pmb{k}_\text{c})\le\varepsilon_\text{F}}\frac{d^3k_\text{c}}{(2\pi)^3}\left(\frac{1}{\hbar}\frac{\partial\varepsilon_M}{\partial\pmb{k}_\text{c}}+\frac{e}{\hbar}\pmb{E}\times\pmb{\Omega}(\pmb{k}_\text{c})\right).\tag{9} \end{equation}

여기서 \(\small \varepsilon_\text{F}\)는 페르미(Fermi) 에너지이다. 이 식의 첫 번째 항으로부터 옴(Ohm)의 법칙을 유도할 수 있다. 두 번째 항은 홀 전류(Hall current)를 나타내는데, 벡터의 성분 표시로 다시 쓰면 다음과 같다.

\begin{equation} \label{anomalousHall} J_i=-\frac{e^2}{\hbar}\int_{\varepsilon_0(\pmb{k}_\text{c})\le\varepsilon_\text{F}}\frac{d^3k_\text{c}}{(2\pi)^3}\,\Omega_{ij}(\pmb{k}_\text{c})E_j=\sigma_{ij}E_j. \tag{10}\end{equation}

여기서 \(\small \Omega_{ij}(\pmb{k}_\text{c})=\epsilon_{ijk}\Omega_k(\pmb{k}_\text{c})\)로 정의되며, \(\small \epsilon_{ijk}\)는 완전 반대칭인 레비치비타(Levi-Civita) 기호이다. 수식의 간결성을 위해 반복되는 첨자에 대한 합을 나타내는 기호가 생략되었다.

따라서 식 (10)으로부터 비정상 홀 효과의 경우, 홀 전도도 \(\small \sigma_{ij}\)는 각 점유 띠(occupied band)가 가지는 베리 곡률의 기여를 모두 합한 것으로 주어짐을 확인할 수 있다. 이는 추후에 언급할 선형 응답 이론으로 얻을 수 있는 결과와 동일하며, 띠구조에 의한 내재적인 기여로 이해할 수 있다.

2. 스핀 홀 효과

비정상 홀 효과와 비슷한 논의를 통해서 스핀 홀 효과도 전자의 준고전 동역학으로 설명할 수 있다는 것이 알려져 있다.8)9) 스핀 홀 효과란 홀 효과와 유사하게 계에 인가된 전기장에 수직인 방향으로 스핀류(spin current)가 흐르는 현상을 말한다. 혹은 그 결과로 계의 양 끝에 서로 반대 방향의 스핀이 쌓이는 현상을 말하기도 한다. 스핀 홀 효과의 원인으로는 내재적 기여와 외재적 기여 두 가지로 나누어 생각할 수 있는데, 내재적 기여13)14)는 물질의 띠구조에 기인하고, 외재적 기여15)16)17)는 스핀 의존적인 산란이 원인이다. 여기서는 주로 내재적인 기여에 대해서 이야기할 것이다.

일반적으로 스핀 홀 효과에서는 시간 반전 대칭성이 유지되는 계를 생각한다. 따라서 스핀에 대해서 겹침이 있는 상태를 생각해야 하는데, 이 경우 비 아벨(non-Abelian) 혹은 비가환(non-commutative) 베리 곡률이 등장하게 된다.18) 이는 다음과 같이 이해할 수 있다. 파동 함수를 단열 변화시킨다는 것은 어떤 상태가 단열 변화가 일어나는 동안에 계속 같은 에너지를 가지게 하는 것을 의미한다. 겹쳐있는 상태는 같은 에너지를 가지고, 따라서 단열 변화 후에 겹쳐있던 상태가 섞이더라도 계속 같은 에너지를 가진다. 겹쳐있는 상태들이 여럿이기 때문에 이 섞임(선형 결합)은 행렬로 표현할 수 있고, 이것이 비가환 베리 곡률이 등장하는 이유이다. 이때 겹친 상태의 개수가 \(\small N\)이라면 베리 곡률이 일반적으로 \(\small \mathrm{SU}(N)\)의 게이지(gauge) 변환을 따르게 된다. \(\small \mathrm{SU}(N)\)은 \(\small N\)차원 복소 벡터의 크기(norm)를 유지하는 변환을 뜻한다. 게이지 변환에 관한 논의는 이 글에서 다루는 범위를 벗어나므로 자세한 설명을 생략하도록 하겠다.

방금 보았듯이 겹침이 존재하면 비가환 베리 곡률을 이용해야 하므로, 겹침이 있을 경우 전자의 준고전 운동 방정식은 조금 수정되어야 한다. 식 (5)는 그대로 유지되는 반면 식 (4)는 다음과 같이 수정된다.

\begin{equation} \dot{\pmb{x}}_\text{c} = \frac{1}{\hbar}\operatorname{Tr}[\pmb{D}_{\pmb{k}_\text{c}},\varepsilon_M]-\dot{\pmb{k}}_\text{c}\times\operatorname{Tr}\pmb{\Omega}(\pmb{k}_\text{c}). \tag{11}\end{equation}

여기서 \(\small \pmb{D}_{\pmb{k}}=\boldsymbol{\nabla}_{\pmb{k}}-i\pmb{A}(\pmb{k})\)는 공변 미분(covariant derivative)이며, 겹침이 있기 때문에 \(\small \pmb{A}(\pmb{k})\)와 \(\small \pmb{\Omega}(\pmb{k})\)는 행렬로 나타내진다. 비가환 베리 곡률은 공변 미분을 이용해서 다음과 같이 정의된다.

\begin{equation} \Omega_{ij}=i[D_i,D_j]=\partial_iA_j-\partial_jA_i-i[A_i,A_j]. \tag{12}\end{equation}

만약 베리 연결이 교환(commute)한다면, 즉 \(\small N=1\)인 경우, 식 (6)의 정의와 일치함을 확인할 수 있다. 또한 \(\small \operatorname{Tr}\)는 식 (3)에 등장하는 \(\small z_n\)을 이용해서 다음과 같이 정의된다.

\begin{equation} \operatorname{Tr}{\mathcal{O}}=\sum_{n,m=1}^Nz_n^*\mathcal{O}_{nm}z_m, \qquad \mathcal{O}_{nm}=\braket{\psi_{n\pmb{k}}|\mathcal{O}|\psi_{m\pmb{k}}}. \tag{13} \end{equation}

이런 \(\small \operatorname{Tr}\)의 정의는 [8]에서 처음 사용되었는데 보통 사용되는 대각합의 정의와 다르기 때문에 주의가 필요하다. 반면 [9]에서는 \(\small z_n\)이 명시적(explicitly)으로 사용되었다.

식 (11)을 스핀의 겹침(\(\small N=2\))만을 생각하는 간단한 상황에 적용시켜 보자. 만약 업(다운) 스핀만으로 파동 묶음을 만들었다면, \(\small \operatorname{Tr}\pmb{\Omega}=\pmb{\Omega}_{\uparrow\uparrow}(\pmb{\Omega}_{\downarrow\downarrow})\)을 얻는다. 지금 생각하고 있는 비가환 베리 곡률이 \(\small \mathrm{SU}(2)\) 변환을 따르는 것^b)을 떠올리면, \(\small \operatorname{tr}\pmb{\Omega}=\pmb{0}\)을 만족해야 하기 때문에(\(\small \operatorname{tr}\)는 스핀 공간에 대한 대각합), \(\small \pmb{\Omega}_{\uparrow\uparrow}=-\pmb{\Omega}_{\downarrow\downarrow}\)을 얻는다. 따라서 식 (5)로부터 자기장이 없는 경우 전기장이 \(\small \dot{\pmb{k}}_\text{c}\)에 비례함을 떠올리면, 식 (11)의 두 번째 항(전기장에 수직인 방향의 운동을 만드는 항)은 업 스핀과 다운 스핀에 대해서 서로 반대 부호를 가지는 것을 알 수 있다. 이는 한쪽 방향으로는 업 스핀이 움직이고, 반대편 방향으로는 다운 스핀이 움직임을 나타내고, 따라서 스핀류가 생성되게 된다.

스핀이 불균형하게 쌓이는 것을 직접 보일 수도 있다. 그렇게 하기 위해서 특별히 스핀의 \(\small z\) 성분에 주목해 스핀 모멘트를

\begin{equation} \pmb{I}^z=\frac{1}{2}\{S^z,\pmb{x}\} \tag{14}\end{equation}

로 정의하자. 스핀 모멘트를 에르미트(Hermite)로 만들기 위해서 반교환 관계가 사용되었다. 이 스핀 모멘트의 시간에 따른 변화를 (보통 사용하는 정의 (17)과 다름에 주의하며) 스핀류라고 정의하면, 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다. 

\begin{align} J^z_{\text{s},i}&=\frac{d}{dt}\braket{\Psi(t)|I^z_i|\Psi(t)} \tag{15}\\ &=e\int_{\varepsilon(\pmb{k}_\text{c})\le\varepsilon_\text{F}}\frac{d^3k_\text{c}}{(2\pi)^3}\operatorname{Tr}\big[\braket{S^z}(\pmb{k}_\text{c})\Omega_{ij}(\pmb{k}_\text{c})\big]E_j =\sigma^z_{ij}E_j. \tag{16} \end{align}

여기서 \(\small \braket{S^z}_{ss'}(\pmb{k}_\text{c})=\braket{\psi_{n\pmb{k}s}|S^z|\psi_{n\pmb{k}s'}}\bigr|_{\pmb{k}=\pmb{k}_\text{c}}\)이고, 식 (16)을 얻기 위해서는 스핀의 행렬 요소가 서로 다른 스핀 간에 사라진다는 가정이 필요하다.8) 이 가정은 스핀류의 편극(polarization) 방향과 블로흐 상태가 어떤 스핀 방향에 대한 고유 함수인지에 따라서 만족되는 경우가 있다.

식 (16)으로부터, 비정상 홀 효과의 경우와 유사하게 스핀 홀 전도도가 비가환 베리 곡률에 의존하는 것을 알 수 있고, 이 기여는 일반적으로 사라지지 않는다. 따라서 스핀 모멘트 (14)가 시간에 따라 변하는 것을 알 수 있는데, 이를 위해서는 스핀 분포에 불균형이 일어나야 하기 때문에 결국 스핀류의 생성으로 이어진다.

선형 응답 이론

전자의 준고전 동역학을 이용하지 않고 선형 응답 이론(linear response theory)을 이용해서 스핀 홀 효과를 살펴볼 수도 있다. 이를 위해서 스핀류를 전자의 스핀이 전하의 역할을 대신하게 하여 보통 다음과 같이 정의한다.

\begin{equation} \pmb{J}^z_\text{s}=\frac{1}{2}\{S^z,\dot{\pmb{x}}\}. \tag{17}\end{equation}

계에 전기장을 걸어주었을 때, 그에 수직한 방향으로 흐르는 스핀류의 응답을 나타내는 스핀 홀 전도도는 다음과 같이 주어진다.

\begin{equation} \sigma^z_{ij}=-e\hbar\sum_{n\ne m}\int_\text{BZ}\frac{d^3k}{(2\pi)^3}f(\varepsilon_n(\pmb{k})) \frac{2\operatorname{Im}\braket{\psi_{n\pmb{k}}|\frac{1}{2}\{S^z,\dot{x}_i\}|\psi_{m\pmb{k}}}\braket{\psi_{m\pmb{k}}|\dot{x}_j|\psi_{n\pmb{k}}}}{(\varepsilon_n(\pmb{k})-\varepsilon_m(\pmb{k}))^2}.\tag{18} \end{equation}

여기서 \(\small f(\varepsilon_n(\pmb{k}))\)는 페르미-디랙(Fermi-Dirac) 분포를 나타낸다. 식 (18)은 쿠보(Kubo) 공식이라고도 불리며 제일원리(first-principles) 계산으로 얻어진 스핀 홀 전도도는 보통 이 식을 계산한 결과이다.21)22)

비정상 홀 전도도의 경우 식 (18)의 스핀류 부분이 보통의 전류로 바뀌게 되고, 피적분 함수를 베리 곡률의 꼴로 쓸 수 있음이 알려져 있다. 식으로 표현하면 다음과 같다.

\begin{align} \sigma_{ij}&=e^2\hbar\sum_{n\ne m}\int_\text{BZ}\frac{d^3k}{(2\pi)^3}f(\varepsilon_n(\pmb{k})) \frac{2\operatorname{Im}\braket{\psi_{n\pmb{k}}|\dot{x}_i|\psi_{m\pmb{k}}}\braket{\psi_{m\pmb{k}}|\dot{x}_j|\psi_{n\pmb{k}}}}{(\varepsilon_n(\pmb{k})-\varepsilon_m(\pmb{k}))^2} \tag{19}\\ &=-\frac{e^2}{\hbar}\sum_{n}\int_\text{BZ}\frac{d^3k}{(2\pi)^3}f(\varepsilon_n(\pmb{k})) \Omega_{n,ij}(\pmb{k}). \tag{20} \end{align}

여기서 \(\small \Omega_{n,ij}(\pmb{k})\)는 \(\small n\)번째 띠의 베리 곡률을 나타낸다. 이는 전자의 준고전 동역학으로 유도한 식 (10)과 일치하는 결과이다.

이와 비슷하게 식 (18)의 피적분 함수를 스핀 베리 곡률이라고 부르는 경우도 종종 있지만, 엄밀한 의미에서 적절한 용어인지는 논란의 여지가 있다. 식 (20)의 비정상 홀 효과에서 등장하는 베리 곡률은 식 (6)에서 정의한 것처럼 대응되는 베리 연결이 존재한다. 하지만 스핀 베리 곡률의 경우, 스핀 베리 연결이라고 불릴 수 있는 양에 대한 마땅한 정의 혹은 알려진 형태가 아직 없기 때문에, 추가적인 논의가 필요한 상황이다. 다만 전자의 준고전 동역학에 기반한 식 (16)이 비가환 베리 곡률을 포함한 비교적 간단한 형태로 쓰여지는 것을 보면, 선형 응답 이론의 식 (18)도 어떤 가정 하에서 (비가환) 베리 곡률을 포함하는 형태로 쓰여질 수도 있을 것이라고 예상할 뿐이다. 그 외에도 요동-흩어지기 정리(fluctuation-dissipation theorem)에 의한 크라머르스-크로니그(Kramers-Kronig) 관계를 만족하는지, 그리고 통상적인 물리량이 만족하는 합 규칙(sum rule)이 존재하는지에 대한 이해가 더 필요하다.

오비탈 홀 효과

오비탈 홀 효과는 스핀-궤도 상호작용의 크기가 작아 스핀의 효과를 무시할 수 있는 Si에서 처음 제안되었다.1) 원자가띠(valence band)가 \(\small p\) 오비탈로 이루어진 것과 계의 대칭성을 이용해서 \(\small{3\times3}\)의 밀접 결합 모형을 만들고 오비탈 홀 효과를 계산하였다. 밀접 결합 모형의 경우 각 물질 고유의 특성(물질의 대칭성이나 특정 상호작용의 유무 등)을 비교적 손쉽게 고려할 수 있기 때문에, 오비탈 홀 효과의 연구에 많이 사용되었다.2)23)24)25)26)

전자의 준고전 동역학으로 스핀 홀 효과를 설명했던 것과 비슷한 방식으로 오비탈 홀 효과에 접근해 볼 수도 있다. 그러나 이 경우 스핀의 겹침은 시간 반전 대칭성으로 보호되는 반면 궤도 각운동량의 겹침은 결정장(crystal field)에 의해서 영향을 받기 때문에 계가 어떤 회전 대칭성을 가지는지에 의존한다. 예를 들어 브릴루앙 영역 내의 어떤 점에 주목해서 그 점이 입방(cubic) 구조의 점 대칭성(point symmetry) \(\small m\bar{3}m(O_h)\)을 가지고 있다고 하면, \(\small p\) 오비탈은 겹쳐있게 된다. 식 (11)로부터 전기장에 수직한 방향의 운동을 나타내는 항은 궤도 자기 모멘트 \(\small m\)에 따라 \(\small \pmb{\Omega}_{mm}\)에 의존하게 된다. 이때 비가환 베리 곡률이 \(\small\mathrm{SU(3)}\) 변환을 따르는 것을 떠올리면, \(\small \sum_{m=\pm1,0}\pmb{\Omega}_{mm}=\pmb{0}\)이라는 제약 조건(constraint)을 얻게 된다. 이 경우 예를 들어 계의 한쪽 끝에는 \(\small m=1\)의 상태가 모이고 반대편 끝에는 \(\small m=0\)과 \(\small m=-1\)의 상태가 모이는 오비탈 분극이 일어날 수 있을 것이다. 다만 이는 단순히 수학적인 구조가 스핀 홀 효과의 경우와 같음을 이용한 추론일 뿐, 더욱 자세한 연구가 필요한 상황이다.

그 외에도, 보통의 홀 효과에서 전하의 극성에 따라 수직한 전기장이 생기고, 각 스핀이 반대 방향으로 흐름 따라서 스핀 홀 효과가 생기듯, 오비탈 홀 효과에서는 무엇인가가 그런 수직한 흐름를 줄텐데, 일반적인 상호작용에서 분극을 주는 항은 무엇일까? 등의 질문이 남아있다.

본 편에서는 전자의 준고전 동역학을 중심으로 비정상 홀 효과와 스핀 홀 효과를 이에 기반해서 이해할 수 있음을 설명했다. 그리고 오비탈 홀 효과에 대해서도 유사한 논의가 가능할 수 있음을 주장했다. 아직 더 구체적으로 논의되어야 할 내용은 많지만, 적어도 오비탈 홀 효과가 실재할 것이라는 데에는 많은 연구자들이 의견을 같이하고 있다. 다만 스핀의 기여와 오비탈의 기여를 분리해 내기가 만만치 않아서 많은 연구자들이 고전하고 있는 중이다. 여기서 다룬 것보다 더욱 자세한 이론적 논의는 본 특집의 다른 글(고동욱, 이현우)을 참고하기 바란다. 아울러 소자 관점에서의 접근(이수길, 이년종, 강민구, 박병국), 현재까지의 측정 방법(김상훈, 홍순철), 그리고 광학 관점에서 다룬 글(김튼튼)도 참조하길 바란다.

(커버 이미지: Schematic of the spin Hall effect. (Eleanor Holmes, CC BY-SA 4.0, via Wikimedia Commons))