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지난호





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PHYSICS PLAZA

새로운 연구결과 소개

등록일 : 2021-01-15 ㅣ 조회수 : 203

Non-Local Network Coding in Interference Channels


윤지영(한국과학기술원), Ashutosh Rai(Slovak Academy of Sciences), 배준우(한국과학기술원), Phys. Rev. Lett. 125, 150502 (2020).


큐비트는 이차원 양자계에 해당한다. 측정결과를 얻게 되면 그 결과는 비트를 이용하여 기술할 수 있다. 큐비트의 상태는 측정을 통해 비트로 기술되는 확률 분포 혹은 정보로 연계된다.

정보처리에서 큐비트와 비트가 얼마나 다른 차이를 가져다 줄 수 있을까. 정보이론의 관점에서 양자이론을 바라보면 양자계에 대한 더 깊은 이해를 얻을 수 있다. 동시에, 정보기술에 양자계를 응용할 수 있는 방법을 고안해 낼 수 있다.

양자계를 측정한 후 얻은 확률분포가 벨부등식을 위반한다면 이 분포는 비국소성을 포함하고 있다. 비국소성의 분포를 큐비트의 측정을 통해 얻었다면, 측정 전에 큐비트가 공유했던 양자 상태는 얽힘(entanglement)을 공유했음을 의미한다. 큐비트의 얽힘 공유는 측정 후 비트 간 비국소성을 공유하기 위한 필요조건이다.

그림 1. m + n 파티로 구성된 네트워크에서, 두 명 송신자 A1A2는 수신자 B1B2와 통신을 수행한다. 송신자는 네트워크 코딩에서 비국소성, 양자확률, 국소성의 자원을 활용한다.그림 1. m + n 파티로 구성된 네트워크에서, 두 명 송신자 A1A2는 수신자 B1B2와 통신을 수행한다. 송신자는 네트워크 코딩에서 비국소성, 양자확률, 국소성의 자원을 활용한다.
그림 2. 확률 공간에서 양자 비국소성을 포함하는 다면체를 구성하여, 양자 채널 용량을 근사하였다. 내부의 Q는 양자 확률 공간이며 이를 포함하는 다면체를 구성한다.그림 2. 확률 공간에서 양자 비국소성을 포함하는 다면체를 구성하여, 양자 채널 용량을 근사하였다. 내부의 Q는 양자 확률 공간이며 이를 포함하는 다면체를 구성한다.

비국소성은 1960년대 양자계의 이해를 위한 기초연구에서 처음으로 등장한 개념이다. 비국소성은 양자정보이론에서 높은 응용성을 갖는데, 예를 들어 양자암호에 활용하여 구현의 흠결에 무관하게 안전한 프로토콜을 구현할 수 있다.

비국소성을 네트워크 정보이론에 적용해 보자. 현재 네트워크 통신의 채널 용량의 한계를 뛰어넘는 더 높은 네트워크 채널 용량을 얻을 수 있다.1) 이 결과는 Popescu-Rohrich(PR) 상자2)라 불리는 최대의 비국소성을 갖는 확률 분포를 활용하였다.

흥미롭게도 자연은 양자이론이 비국소성을 갖도록 허용하되 최대값을 허용하지 않는다. 최대의 비국소성을 갖는 PR 상자는 양자계를 통해 얻을 수 없다. [1]의 결과는 비국소성의 유용성을 보여주었으나, 양자계를 활용하여 네트워크 채널을 향상할 수 있음을 의미하는 것은 아니다.

[3]의 연구는 양자이론에서 얻을 수 있는 비국소성을 네트워크 통신에 적용하였다. 구체적으로 두 명의 송신자와 두 명의 수신자 간의 간섭 채널에 해당하는 네트워크 통신을 고려하였다. 개별 수신자 간의 채널 용량의 총합을 고려하였다. 양자 확률을 통해 더 높은 채널 용량의 총합을 얻을 수 있음을 보였다.

두 송신자의 네트워크 코딩은 구체적으로 다음의 변환에 해당한다:

\[(m_1, m_2 ) ~\mapsto ~((x _{11} ,x _{12} ),(x _{21} ,x _{22} )) \]

두 송신자는 네트워크 코딩에 국소성, 양자 확률, 상대론적 비국소성의 자원을 활용할 수 있다. 양자 확률은 양자계를 측정하여 얻을 수 있는 확률 분포를 뜻하며, 국소성의 확률 분포를 포함한다. 상대론적 비국소성은 인과율을 만족하는 비국소성이며, 양자 확률을 포함한다.

간섭 채널은 송신된 값이 다음의 관계

\[ x _{12} \oplus x _{22} =x _{11} x _{21} \]

를 만족하는지 판별한다. 만족한다면 간섭 채널은 아래와 같이 작용한다:

\[ {\cases{P _{} (Y _{1} =x _{11} ,Y _{2} =x _{21} )=p&\\ P _{} (Y _{1} \ne x _{11} ,Y _{2} \ne x _{21} )=1-p&}} \]

그렇지 않다면 아래와 같이 작용한다:

\[ {\cases{P _{} (Y _{1} =x _{11} ,Y _{2} =x _{21} )=q&\\P _{} (Y _{1} \ne x _{11} ,Y _{2} \ne x _{21} )=1-q&}} \]

네트워크 코딩을 최적화하여 채널 용량의 총합에 대해 최댓값을 계산한다.

양자 확률을 활용하여 얻는 채널 용량을 계산하기 위해서는, 양자계가 제공하는 비국소성의 정도를 규명해야 한다. 이는 NP-Hard 문제로 알려져 있으며 수학의 Connes’ embedding 가설로 알려진 문제와 양자 이론의 Tsirelson 문제와 같은 난제들과 깊은 관련을 갖고 있다. 양자 채널 용량을 규명하는 것 역시 NP-Hard 문제에 해당한다.4)

그림 3. (A) 진한 영역은 양자 채널 용량이 국소성에 기반한 채널 용량보다 더 높은 영역을 나타내고, (B) 모든 p, q,에 대하여 비국소성이 양자 채널 용량보다 더 유용함을 보여준다.그림 3. (A) 진한 영역은 양자 채널 용량이 국소성에 기반한 채널 용량보다 더 높은 영역을 나타내고, (B) 모든 p, q,에 대하여 비국소성이 양자 채널 용량보다 더 유용함을 보여준다.

이를 해결하기 위해 양자 확률 공간의 상한에 해당하는 다면체를 구성한다. 정의한 다면체를 바탕으로 양자 채널 용량의 상한을 계산한다. 하한의 경우 최대 얽힘 상태의 측정을 통해 얻은 양자 확률을 활용한다. 상한과 하한을 통해 양자 채널 용량이 국소성에 기반한 채널 용량보다 더 높다는 사실을 밝혀낼 수 있다.

네트워크 정보이론은 현재의 무선통신과 인공지능 등의 최신 정보기술의 틀을 제공한다. [3]의 결과는 양자계의 비국소성을 활용하여 네트워크 통신의 효율성을 향상할 수 있음을 보였다.

각주
1)Y. Quek and P. W. Shor, Phys. Rev. A 95, 052329 (2017).
2)S. Popescu and D. Rohrlich, Foundations of Physics 24, 3 (1994).
3)윤지영 (한국과학기술원), Ashutosh Rai(Slovak Academy of Sciences), 배준우 (한국과학기술원), Phys. Rev. Lett. 125, 150502 (2020).
4)F. Leditzky, M. A. Alhejji, J. Levin, and G. Smith, Nat. Commun 11, 1497 (2020).


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